Question

3．将向量$\overrightarrow{a_1}=（{{x_1}，{y_1}}），\overrightarrow{a_2}=（{{x_2}，{y_2}}），…\overrightarrow{a_n}=（{{x_n}，{y_n}}）$组成的系列称为向量列$\left\{{\overrightarrow{a_n}}\right\}$，并定义向量列$\left\{{\overrightarrow{a_n}}\right\}$的前n项和$\overrightarrow{S_n}=\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+…+\overrightarrow{a_n}$．如果一个向量列从第二项起，每一项与前一项的差都是同一个向量，那么称这样的向量列为等差向量列，若向量列$\left\{{\overrightarrow{a_n}}\right\}$是等差向量列，那么下述向量中，与一定平行$\overrightarrow{{S}_{21}}$的向量是（　　）

• A． $\overrightarrow{{a_{10}}}$
• B． $\overrightarrow{{a_{11}}}$
• C． $\overrightarrow{{a_{20}}}$
• D． $\overrightarrow{{a_{21}}}$

Answer 1

分析 可设每一项与前一项的差都等于向量$\overrightarrow{d}$，运用类似等差数列的通项和求和公式，计算可得$\overrightarrow{{S}_{21}}$=$\overrightarrow{{a}_{1}}+\overrightarrow{{a}_{2}}+$…+$\overrightarrow{{a}_{21}}$=21（$\overrightarrow{{a}_{1}}$+10$\overrightarrow{d}$）=21$\overrightarrow{{a}_{11}}$，再由向量共线定理，即可得到所求结论．

解答 解：由新定义可设每一项与前一项的差都等于向量$\overrightarrow{d}$，
$\overrightarrow{{S}_{21}}$=$\overrightarrow{{a}_{1}}+\overrightarrow{{a}_{2}}+$…+$\overrightarrow{{a}_{21}}$
=$\overrightarrow{{a}_{1}}+（\overrightarrow{{a}_{1}}+\overrightarrow{d}）+…+（\overrightarrow{{a}_{1}}+20\overrightarrow{d}）$
=21$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\frac{1}{2}（1+20）•20\overrightarrow{d}$
=21（$\overrightarrow{{a}_{1}}+10\overrightarrow{d}$）
=21$\overrightarrow{{a}_{11}}$，
∴一定平行$\overrightarrow{{S}_{21}}$的向量是$\overrightarrow{{a}_{11}}$．
故选：B．

点评 本题考查新定义：等差向量列的理解和运用，考查类比的思想方法和向量共线定理的运用，属于中档题．