Question

6．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂³+a₂=2014，则a₂₀₁₃³+a₂₀₁₃=-2014，则S₂₀₁₄=（　　）

• A． 2014
• B． 1
• C． 0
• D． -1

Answer 1

分析 a₂³+a₂=2014，a₂₀₁₃³+a₂₀₁₃=-2014，相加可得：a₂³+a₂+a₂₀₁₃³+a₂₀₁₃=0，利用立方和公式可得：（a₂+a₂₀₁₃）$（{a}_{2}^{2}+{a}_{2013}^{2}-{a}_{2}{a}_{2013}+1）$=0，可得a₂+a₂₀₁₃=0．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵a₂³+a₂=2014，a₂₀₁₃³+a₂₀₁₃=-2014，
∴a₂³+a₂+a₂₀₁₃³+a₂₀₁₃=0，
∴（a₂+a₂₀₁₃）$（{a}_{2}^{2}+{a}_{2013}^{2}-{a}_{2}{a}_{2013}+1）$=0，
∵${a}_{2}^{2}+{a}_{2013}^{2}$-a₂a₂₀₁₃=$（{a}_{2}-\frac{1}{2}{a}_{2013}）^{2}$+$\frac{3}{4}{a}_{2013}^{2}$≥0，
∴a₂+a₂₀₁₃=0．
则S₂₀₁₄=$\frac{2014（{a}_{2}+{a}_{2013}）}{2}$=0．
故选：C．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．