Question

如图，F是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点，A，B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为

1

2

．点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，F三点确定的圆M恰好与直线l₁：x+

3

y+3=0相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程：
（Ⅱ）过点A的直线l₂与圆M交于PQ两点，且 

MP

•

MQ

=-2，求直线l₂的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件求出B（0，

3

c），C（3c，0），F（-c，0），由此求出圆M的方程为（x-c）²+y²=4c²，再由圆M与直线l₁：x+

3

y+3=0相切，解得c=1，a=2，b=

3

，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线l₂的方程为y=k（x+2），由已知条件求出∠PMQ=120°，从而求出k=±

2

4

，由此能求出直线l₂的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵F是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点，A，B是椭圆的两个顶点，
椭圆的离心率为

1

2

，
∴

c

a

=

1

2

，∴

c2

a2

=1-

b2

a2

=

1

4

，∴b=

3

2

a，c=

1

2

a，
设F（-c，0），B（0，

3

2

a）=（0，

3

c），
∵k_BF=

b

c

=

3

，BC⊥BF，
∴k_BC=-

3

3

，∴

b

xC

=

3

3

，∴x_C=

3

b=

3

2

a•

3

=

3

2

a=3c，
∴C（3c，0），
设圆M的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
把B（0，

3

c），C（3c，0），F（-c，0）代入，得：

3c2+ 3 cE+F=0 9c2+3cD+F=0 c2-cD+F=0

，
解得D=-2c，E=0，F=-3c²，
∴圆M的方程为（x-c）²+y²=4c²，
∵圆M与直线l₁：x+

3

y+3=0相切，
∴

|1×c+ 3 ×0+3|

1+3

=2c，解得c=1，
∴a=2，b=

3

，
∴所求的椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）∵A是椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1的左顶点，∴A（-2，0），
∵圆M的方程为（x-1）²+y²=4，
∴过点A斜率不存在的直线与圆不相交，
∴设直线l₂的方程为y=k（x+2），
∵

MP

•

MQ

=-2，又|

MP

|=|

MQ

|=2，
∴cos＜

MP

，

MQ

＞=

MP • MQ

| MP |•| MQ |

=-

1

2

，
∴∠PMQ=120°，
圆心M到直线l₂的距离d=

1

2

r=1，
∴

|k+2k|

k2+1

=1，解得k=±

2

4

，
∴直线l₂的方程为y=±

2

4

（x+2）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，综合性强，难度大，解题时要注意等价转化思想的合理运用．