Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，其左焦点到点P（2，1）的距离为

10

．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）利用两点间的距离公式可得c，再利用椭圆的标准方程及其性质即可得出a，b；
（Ⅱ）把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D，可得k_AD•k_BD=-1，即可得出m与k的关系，从而得出答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵左焦点（-c，0）到点P（2，1）的距离为

10

，∴

(2+c)2+1

=

10

，解得c=1．
又e=

c

a

=

1

2

，解得a=2，∴b²=a²-c²=3．
∴所求椭圆C的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，化为3+4k²＞m²．
∴x1+x2=

-8mk

3+4k2

，x1x2=

4(m2-3)

3+4k2

．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=

3(m2-4k2)

3+4k2

．
∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），k_AD•k_BD=-1，∴

y1

x1-2

•

y2

x2-2

=-1，
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，∴

3(m2-4k2)

3+4k2

+

4(m2-3)

3+4k2

+

16mk

3+4k2

+4=0．
化为7m²+16mk+4k²=0，解得m₁=-2k，m2=-

2k

7

．
，且满足3+4k²-m²＞0．
当m=-2k时，l：y=k（x-2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；
当m=-

2k

7

时，l：y=k(x-

2

7

)，直线过定点(

2

7

，0)．
综上可知，直线l过定点，定点坐标为(

2

7

，0)．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、圆的性质、两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．