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    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    ，（a＞b＞0）的左焦点和上顶点分别为F和A，且抛物线y2=-8x的焦点恰好为F，原点O到直线AF的距离为
    2
    		5
    5
    ．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）设直线l交椭圆C于M、N，且F为△AMN的垂心，试求直线l的方程．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题
    专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
    分析：（1）求出直线AF的方程，利用原点O到直线AF的距离为
    2
    		5
    5
    ，求出几何量，即可求椭圆C的方程；
    （2）求出l：y=-2x+m代入
    x2
    5
    +y2=1    消y，利用MF⊥AN，可得
    MF
    •
    AN
    =0，即（-2-x1，-y1）•（x2，y2-1）=0，从而可得结论．
    解答： 解：（1）抛物线y2=-8x的焦点为F（-2，0），
    ∴直线AF的方程为
    x
    -2
    +
    y
    b
    =1    ，即bx-2y+2b=0，
    ∵原点O到直线AF的距离为
    2
    		5
    5
    ，
    ∴
    2b
    		b2+4
    =
    2
    		5
    5
    ，
    ∴b=1，
    ∵c=2，
    ∴a2=b2+c2=5，
    ∴椭圆C的方程为
    x2
    5
    +y2=1    ；
    （2）设l：y=kx+m，
    ∵KAF=
    1
    2
    ，且FM⊥l，
    ∴k=-2，
    ∴l：y=-2x+m，且设M（x1，y1），N（x2，y2），
    由y=-2x+m代入
    x2
    5
    +y2=1    消y，得21x2-20mx+5m2-5=0
    △=400m2-84（5m2-5）＞0，x1+x2=
    20m
    21
    ，x1x2=
    5m2-5
    21
    ．
    y1y2=（-2x1+m）（-2x2+m）=4x1x2-2m（x1+x2）+m2=
    m2-20
    21

    又F为△AMN的垂心，
    ∴MF⊥AN，∴
    MF
    •
    AN
    =0，
    ∴（-2-x1，-y1）•（x2，y2-1）=0，
    ∴-2（x1+x2）-x1x2-y1y2+m=0，
    ∴-2•
    20m
    21
    -
    5m2-5
    21
    -
    m2-20
    21
    +m=0，
    ∴6m2+21m-25=0，
    ∴m=
    -21-
    		1041
    12
    （正值舍去），
    ∴直线l的方程为y=-2x+
    -21-
    		1041
    12
    ．
    点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查小时分析解决问题的能力，属于难题．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上找一点M，则AM＜AC的概率为（　　）
    A、
    		2
    2
    B、
    3
    4
    C、
    2
    3
    D、
    1
    2

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）
    （Ⅰ）当a=2时，求f（x）在区间[e，e2]上的最大值和最小值；
    （Ⅱ）如果函数g（x），f1（x），f2（x）在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的“伴随函数”．已知函数f1(x)=(a-
    1
    2
    )x2+2ax+(1-a2)lnx    ，f2(x)=
    1
    2
    x2+2ax    ．若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“伴随函数”，求a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的离心率为
    1
    2
    ，其左焦点到点P（2，1）的距离为
    		10
    ．
    （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
    （Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，F1（-c，0），F2（c，0）分别是双曲线C：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1（a，b＞0）的左，右焦点，过点F2作x轴的垂线交双曲线的上半部分于点P，过点F1作直线PF1的垂线交直线l：x=-
    a2
    c
    于点Q．
    （1）若点P的坐标为（4，6），求双曲线C的方程及点P处的切线方程；
    （2）证明：直线PQ与双曲线C只有一个交点；
    （3）若过l：x=-
    a2
    c
    上任一点M作双曲线C：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1（a，b＞0）的两条切线，切点分别为T1，T2，问：直线T1T2是否过定点，若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知点M（-1，0），N（1，0），动点P（x，y）满足：|PM|•|PN|=
    4
    1+cos∠MPN
    ，
    （1）求P的轨迹C的方程；
    （2）是否存在过点N（1，0）的直线l与曲线C相 交于A、B两点，并且曲线C存在点Q，使四边形OAQB为平行四边形？若存在，求出平行四边形OAQB的面积；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知F1、F2是椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左、右焦点，且离心率e=
    1
    2
    ，若点P为椭圆C上的一个动点，且|PF1|•|PF2|的最大值为4．
    （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
    （Ⅱ）过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=cos2ωx-sin2ωx+2
    		3
    cosωxsinωx（ω＞0），f（x）的两条相邻对称轴间的距离大于等于
    π
    2
    ．
    （Ⅰ）求ω的取值范围；
    （Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边依次为a，b，c，a=
    		3
    ，b+c=3，f（A）=1，当ω=1时，求△ABC的面积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    用符号[x）表示超过x的最小整数，如[3.9）=4，[-1.08）=-1．有下列命题：
    ①若函数f（x）=[x）-x，x∈R，则值域为（0，1]；
    ②若x，y∈{
    1
    2
    ，3，
    7
    3
    }，则[x）•[y）=3的概率为
    1
    3
    ；
    ③若x∈（1，4），则方程若[x）-x=
    1
    2
    有三个根；
    ④如果数列{an}是等比数列，n∈N*，那么数列{[an）}一定不是等比数列．
    其中正确的是
     
    ．

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