Question

已知抛物线C：y=x²，直线l：x-2y-2=0，点P是直线l上任意一点，过点P作抛物线C的切线PM，PN，切点分别为M，N，直线PM，PN斜率分别为k₁，k₂，如图所示．
（1）若P（4，1），求证：k₁+k₂=16；
（2）当P在直线l上运动时，求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设过P的切线方程为：y-1=k（x-4），代入抛物线C得：x²-kx+4k-1=0，由△=0，能证明k₁+k₂=16．
（2）设P（x₀，y₀），x₀-2y₀=2，切点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）对y=x²求导数，推导出直线PM：y-y₁=2x₁（x-x₁），直线PN：y-y₂=2x₂（x-x₂），由此能证明MN过定点(

1

4

， 1)．

解答： （1）证明：设过P的切线方程为：y-1=k（x-4），
代入抛物线C，消去y得：x²-kx+4k-1=0，
由△=k²-4（4k-1）=0，
∴k²-16k+4=0，
∵该方程的两个根为直线PM，PN斜率k₁，k₂，
∴k₁+k₂=16．（5分）
（2）证明：设P（x₀，y₀），x₀-2y₀=2，切点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
对y=x²求导数，y'=2x，
∴k₁=2x₁，k₂=2x₂
∴直线PM：y-y₁=2x₁（x-x₁），直线PN：y-y₂=2x₂（x-x₂），
∵y1=

x

2 1

，y2=

x

2 2

，
∴直线PM：y=2x₁x-y₁，直线PN：y=2x₂x-y₂，
∵直线PM，PN都过点P，∴2x₀x₁-y₁=y₀，2x₀x₂-y₂=y₀，
这说明M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）满足直线2x₀x-y=y₀的方程，
∴直线MN为：2x₀x-y=y₀，∵x₀-2y₀=2，
∴MN为：4x0(x-

1

4

)=2(y-1)，x₀∈R，即MN过定点(

1

4

， 1)．（12分）

点评：本题考查两直线的斜率之和为16的证明，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．