Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，直线l：y=

3

(x-4)关于直线l1：y=

b

a

x对称的直线l′与x轴平行．
（1）求双曲线的离心率；
（2）若点M（4，0）到双曲线上的点P的最小距离等于1，求双曲线的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件利用两直线的夹角公式推导出|

3 - b a

1+ 3 • b a

|=|

0- b a

1-0• b a

|，由此能求出双曲线的离心率．
（2）设双曲线为

x2

3b2

-

y2

b2

=1，由点M（4，0）到双曲线上的点P的最小距离等于1，得到|

3

b-4|=1，由此能求出双曲线方程．

解答： 解：（1）∵双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
直线l：y=

3

(x-4)关于直线l1：y=

b

a

x对称的直线l′与x轴平行，
∴k=

3

，k1=

b

a

，k′=0，
∴|

3 - b a

1+ 3 • b a

|=|

0- b a

1-0• b a

|，
解得

b

a

=

3

3

，或

b

a

=-

3

（舍）．
∴

b

a

=

3

3

，∴e=

c2 a2

=

1+ b2 a2

=

1+ 1 3

=

2 3

3

．
∴双曲线的离心率e=

2 3

3

．
（2）∵

b

a

=

3

3

，∴a²=3b²，∴设双曲线为

x2

3b2

-

y2

b2

=1，
∵点M（4，0）到双曲线上的点P的最小距离等于1，
∴|

3

b-4|=1，
解得

3

b=5，或

3

b=3．
当

3

b=5时，b=

5

3

，∴b2=

25

3

 ，3b2=25，
双曲线方程为

x2

25

-

3y2

25

=1；
当

3

b=3时，b=

3

，b²=3，3b²=9，
双曲线方程为

x2

9

-

y2

3

=1．
∴双曲线的方程为

x2

25

-

3y2

25

=1或

x2

9

-

y2

3

=1．

点评：本题考查双曲线的离心率和双曲线方程的求法，解题时要注意直线方程夹角公式的合理运用．