Question

已知函数f（x）=|x-a|（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求不等式f（x）＜1的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）+|x+1|≥3在R上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）利用a=2，通过绝对值的几何意义，直接求解不等式f（x）＜1的解集；
（Ⅱ）利用不等式f（x）+|x+1|的几何意义，通过不等式在R上恒成立，求出表达式的最小值，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）a=2，不等式f（x）＜1，化为|x-2|＜1，解得1＜x＜3．
不等式的解集为：{x|1＜x＜3}．
（Ⅱ）由f（x）=|x-a|，
设g（x）=f（x）+|x+1|，
即g（x）=|x-a|+|x+1|，
其几何意义就是数轴上的点到a与-1的距离之和，
不等式f（x）+|x+1|≥3在R上恒成立，就是距离之和的最小值也大于3，
即|a+1|≥3，解得，a≥2或a≤-4，
∴a的取值范围是（-∞，-4]∪[2，+∞）．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，理解“不等式f（x）+|x+1|≥3在R上恒成立”中的恒成立的含义是关键，也是难点，是易错点，需求得表达式的最小值，属于难题．