Question

已知函数f(x)＝log_a(1+x)，g(x)＝log_a(1-x)，其中(a>0且a≠1)，设h(x)＝f(x)-g(x)．
(1)求函数h(x)的定义域；
(2)判断h(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)若f(3)＝2，求使h(x)>0成立的x的集合．

Answer 1

(1) (－1,1)．(2) h(x)是奇函数．(3) {x|0<x<1}．
(1)求f(x)和g(x)的定义域的交集即为h(x)的定义域.
（２）因为h(-x)=-h(x),所以h(x)为奇函数.
（３）由f(3)＝2，得a＝2. h(x)>0即log₂(1＋x)－log₂(1－x)>0，即log₂(1＋x)>log₂(1－x)，利用对数函数的单调性可转化为1+x>1-x>0，解此不等式即可.
(1)由对数的意义，分别得1＋x>0，1－x>0，即x>－1，x<1.
∴函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，函数g(x)的定义域为(－∞，1)，
∴函数h(x)的定义域为(－1,1)．
(2)∵对任意的x∈(－1,1)，－x∈(－1,1)，
h(－x)＝f(－x)－g(－x)
＝log_a(1－x)－log_a(1＋x)
＝g(x)－f(x)＝－h(x)，
∴h(x)是奇函数．
(3)由f(3)＝2，得a＝2.
此时h(x)＝log₂(1＋x)－log₂(1－x)，
由h(x)>0即log₂(1＋x)－log₂(1－x)>0，
∴log₂(1＋x)>log₂(1－x)．
由1＋x>1－x>0，解得0<x<1.
故使h(x)>0成立的x的集合是{x|0<x<1}．