Question

4．已知函数f（x）满足xf（x）=mx+f（x）-1（m≠1），且f（x）的对称中心为（1，2），则当x＞1时，f（x）+x的最小值5．

Answer 1

分析 求得f（x）的解析式，由反比例函数的图象特点，可得f（x）的对称中心（1，m），由题意可得m=2，再由当x＞1时，f（x）+x=（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+3，由基本不等式可得最小值．

解答 解：函数f（x）满足xf（x）=mx+f（x）-1（m≠1），
即有f（x）=$\frac{mx-1}{x-1}$=m+$\frac{m-1}{x-1}$，
由y=$\frac{m-1}{x}$的图象平移可得y=f（x）的图象，
而函数y=$\frac{m-1}{x}$的中心为（0，0），可得y=f（x）的对称中心为（1，m），
由题意可得，m=2，
即f（x）=2+$\frac{1}{x-1}$，
当x＞1时，f（x）+x=（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+3≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{1}{x-1}}$+3=5，
当且仅当x=2时，取得最小值5．
故答案为：5．

点评 本题考查函数的性质及运用，主要考查对称性的判断和应用，考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式，属于中档题．