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    精英家教网将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10…记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{bn}，b1=a1=1．Sn为数列{bn}的前n项和，且满足
    2bn
    bnSn-
    S
    2
    n
    =1(n≥2)    ．
    （Ⅰ）证明数列{
    1
    Sn
    }    成等差数列，并求数列{bn}的通项公式；
    （Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当a81=-
    4
    91
    时，求上表中第k（k≥3）行所有项的和．
    分析：（Ⅰ）由题意所给的已知等式特点应考虑应用已知数列的前n项和求其通项这一公式来寻求出路，得到Sn与SSn-1之间的递推关系，先求出Sn的通项公式即可得证，接下来求{bn}的通项公式；
    （Ⅱ）由题意第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{bn}，b1=a1=1，又已知{bn}的通项公式和a81的值，应该现有规律判断这一向位于图示中的具体位置，有从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数进而求解．
    解答：解：（Ⅰ）证明：由已知，当n≥2时，
    2bn
    bnSn-
    S
    2
    n
    =1    ，又Sn=b1+b2+…+bn，
    所以
    2(Sn-Sn-1)
    (Sn-Sn-1)Sn-
    S
    2
    n
    =1    ?
    2(Sn-Sn-1)
    -Sn-1Sn
    =1    ?
    1
    Sn
    -
    1
    Sn-1
    =
    1
    2
    ，
    又S1=b1=a1=1．所以数列{
    1
    Sn
    }    是首项为1，公差为
    1
    2
    的等差数列．
    由上可知
    1
    Sn
    =1+
    1
    2
    (n-1)=
    n+1
    2
    ，?Sn=
    2
    n+1
    ．
    所以当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=
    2
    n+1
    -
    2
    n
    =-
    2
    n(n+1)
    ．
    因此bn=
    1，n=1
    -
    2
    n(n+1)
    ，n≥2

    （Ⅱ）设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且q＞0．
    因为1+2+…+12=
    12×13
    2
    =78    ，
    所以表中第1行至第12行共含有数列{an}的前78项，故a81在表中第13行第三列，
    因此a81=b13•q2=-
    4
    91
    ．又b13=-
    2
    13×14
    ，所以q=2．
    记表中第k（k≥3）行所有项的和为S，
    则S=
    bk(1-qk)
    1-q
    =-
    2
    k(k+1)
    •
    (1-2k)
    1-2
    =
    2
    k(k+1)
    (1-2k)(k≥3)    ．
    点评：（1）此问重点考查了数列中的已知前n项的和求解通项这一公式，还考查了等差数的定义；
    （2）此问重点考查了由题意及图形准确找规律，还考查了等比数列的通向公式及有数列通向求其所有项和，同时还考查了方程的思想．
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    S
    2
    n
    =1(n≥2)    ．
    （1）求证数列{
    1
    Sn
    }    成等差数列，并求数列{bn}的通项公式；
    （2）上表中，若a81项所在行的数按从左到右的顺序构成等比数列，且公比q为正数，求当a81=-
    4
    91
    时，公比q的值．

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    已知整数数列{an}满足：a1=1，a2=2，且2an-1＜an-1+an+1＜2an+1（n∈N，n≥2）．
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    （2）将数列{an}中的所有项依次按如图所示的规律循环地排成如下三角形数表：
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    …
    依次计算各个三角形数表内各行中的各数之和，设由这些和按原来行的前后顺序构成的数列为{bn}，求b5+b100的值；
    （3）令cn=2+ban+b•2an-1（b为大于等于3的正整数），问数列{cn}中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．

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    （1）证明数列{
    1
    Sn
    }是等差数列，并求数列{bn}的通项公式；
    （2）图中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序构成等比数列，且公比为同一个正数．当a81=-
    4
    91
    时，求上表中第k（k≥3）行所有数的和．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下表：
    记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…，构成的数列为{bn}，b1=a1=1，Sn为数列{bn}的前n项和，且满足数学公式．
    （1）求证数列数学公式成等差数列，并求数列{bn}的通项公式；
    （2）上表中，若a81项所在行的数按从左到右的顺序构成等比数列，且公比q为正数，求当数学公式时，公比q的值．

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