定义:对于区间I内可导的函数y=f(x),若?x0∈I,使f(x0)=f′(x0)=0,则称x0为函数y=f(x)的新驻点.已知函数f(x)=ax-x.
(Ⅰ)若函数y=f(x)存在新驻点,求新驻点x0,并求此时a的值;
(Ⅱ)若f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
分析:(Ⅰ)先求导数f'(x)=a
xlna-1,由题意得
f(x0)=ax0-x0=0①
f′(x0)=ax0lna-1=0②两式联立即可得到
a=e.
(Ⅱ)f(x)=a
x-x≥0?a
x≥x,下面分类讨论:(i)x≤0时,显然恒成立,(ii)x>0时,设
g(x)=,则
g′(x)=,利用导数研究其单调性即可求实数a的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=a
x-x,∴f'(x)=a
xlna-1,由题意得
f(x0)=ax0-x0=0①
f′(x0)=ax0lna-1=0②
由①得
ax0=x0代入②得x
0=log
ae,即
ax0=e③
代入①得x
0=e,∴a
e=e,∴
a=e.
(Ⅱ)f(x)=a
x-x≥0?a
x≥x,
(i)x≤0时,显然恒成立,
(ii)x>0时,
ax≥x?lnax≥lnx?xlna≥lnx?lna≥,
设
g(x)=,则
g′(x)=,g'(e)=0,
当x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)递增,
当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,g(x)递减,
g(x)max=g(e)=,∴
lna≥,∴
a≥e.
点评:本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值等基础知识,考查运算求解能力与转化思想.属于基础题.