精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

定义:对于区间I内可导的函数y=f(x),若?x0∈I,使f(x0)=f′(x0)=0,则称x0为函数y=f(x)的新驻点.已知函数f(x)=ax-x.
(Ⅰ)若函数y=f(x)存在新驻点,求新驻点x0,并求此时a的值;
(Ⅱ)若f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.

解:(Ⅰ)∵f(x)=ax-x,∴f'(x)=axlna-1,由题意得
由①得代入②得x0=logae,即
代入①得x0=e,∴ae=e,∴
(Ⅱ)f(x)=ax-x≥0?ax≥x,
(i)x≤0时,显然恒成立,
(ii)x>0时,
,则,g'(e)=0,
当x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)递增,
当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,g(x)递减,,∴,∴
分析:(Ⅰ)先求导数f'(x)=axlna-1,由题意得②两式联立即可得到
(Ⅱ)f(x)=ax-x≥0?ax≥x,下面分类讨论:(i)x≤0时,显然恒成立,(ii)x>0时,设,则,利用导数研究其单调性即可求实数a的取值范围.
点评:本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值等基础知识,考查运算求解能力与转化思想.属于基础题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

定义:对于区间I内可导的函数y=f(x),若?x0∈I,使f(x0)=f′(x0)=0,则称x0为函数y=f(x)的新驻点.已知函数f(x)=ax-x.
(Ⅰ)若函数y=f(x)存在新驻点,求新驻点x0,并求此时a的值;
(Ⅱ)若f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

定义:对于区间I内可导的函数y=f(x),若?x0∈I,使f(x0)=f′(x0)=0,则称x0为函数y=f(x)的新驻点.已知函数f(x)=ax-x.
(Ⅰ)若函数y=f(x)存在新驻点,求新驻点x0,并求此时a的值;
(Ⅱ)若f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.

查看答案和解析>>

同步练习册答案