Question

设S_n是数列{}的前n项的和,是否存在关于正整数n的函数f(n),使S₁+S₂+…+S_n-1=f(n)［S_n-1］对于大于1的正整数n都成立？并证明你的结论.

Answer 1

解析：假设存在f(n)，使等式成立.

当n=2时，S₁=f(2)(S₂-1),

即1=f(2)(1+-1)，解得f(2)=2.

当n=3时，S₁+S₂=f(3)(S₃-1),即1+1+=f(3)(1++-1),∴f(3)=3.

猜想f(n)=n(n≥2).

下面用数学归纳法证明：当n≥2时，等式S₁+S₂+…+S_n-1=n(S_n-1)恒成立.

①当n=2时，由上面计算知，等式成立.

②假设n=k(k≥2)时，等式成立，即

S₁+S₂+…+S_n-1=k(S_k-1),则

S₁+S₂+…+S_k-1+S_k=k(S_k-1)+S_k=(k+1)S_k-k=(k+1)(S_k+1-)-k

=(k+1)S_k+1-1-k=(k+1)(S_k+1-1),

即n=k+1时，等式也成立.

由①②知，对一切n≥2，等式都成立.

故存在f(n)=n,使S₁+S₂+…+S_n-1=f(n)(S_n-1)对大于1的正整数n都成立.