Question

（一）已知a，b，c∈R⁺，
①求证：a²+b²+c²≥ab+bc+ac；
②若a+b+c=1，利用①的结论求ab+bc+ac的最大值．
（二）已知a，b，x，y∈R⁺，
①求证：

x2

a

+

y2

b

≥

(x+y)2

a+b

．
②利用①的结论求

1

2x

+

9

1-2x

(0＜x＜

1

2

)的最小值．

Answer 1

分析：（一）①从不等式的左边入手，左边对应的代数式的二倍，分别写成两两相加的形式，在三组相加的式子中分别用均值不等式，整理成最简形式，得到右边的2倍，两边同时除以2，得到结果．
②由①得1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）≥3（ab+bc+ac）从而求出ab+bc+ac的最大值；
（二）①利用分析法进行证明．要证

x2

a

+

y2

b

≥

(x+y)2

a+b

，只要证(

x2

a

+

y2

b

)(a+b)≥(x+y)2左边展开利用基本不等式证明即可；
②由①的结论知：

1

2x

+

9

1-2x

≥

(1+3)2

2x+1-2x

=16，从而求出最大值．

解答：证明：（一）①a²+b²≥2ab，c²+b²≥2bc，a²+c²≥2ac，…（3分）
三式相加可得a²+b²+c²≥ab+bc+ac
当且仅当a=b=c时等号成立                  …（6分）
②1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）≥3（ab+bc+ac）…（9分）
则ab+bc+ac≤

1

3

，当且仅当a=b=c时等号成立．    …（12分）
（二）①要证

x2

a

+

y2

b

≥

(x+y)2

a+b

，只要证(

x2

a

+

y2

b

)(a+b)≥(x+y)2，…（3分）
则(

x2

a

+

y2

b

)(a+b)=x2+y2+

bx2

a

+

ay2

b

≥x2+y2+2xy=(x+y)2，
当且仅当bx=ay时等号成立．故原不等式得证．     …（6分）
②由①的结论知：

1

2x

+

9

1-2x

≥

(1+3)2

2x+1-2x

=16，
当且仅当x=

1

8

时，等号成立．                …（12分）

点评：本题考查均值不等式的应用，考查不等式的证明方法，是一个基础题，这种题目常常考虑分拆后利用基本不等式，因为题目分拆后才符合均值不等式的表现形式．