Question

（一）已知a，b，c∈R⁺，
①求证：a²+b²+c²≥ab+bc+ac；
②若a+b+c=1，利用①的结论求ab+bc+ac的最大值．
（二）已知a，b，x，y∈R⁺，
①求证：．
②利用①的结论求的最小值．

Answer 1

证明：（一）①a²+b²≥2ab，c²+b²≥2bc，a²+c²≥2ac，…（3分）
三式相加可得a²+b²+c²≥ab+bc+ac
当且仅当a=b=c时等号成立 …（6分）
②1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）≥3（ab+bc+ac）…（9分）
则，当且仅当a=b=c时等号成立． …（12分）
（二）①要证，只要证，…（3分）
则，
当且仅当bx=ay时等号成立．故原不等式得证． …（6分）
②由①的结论知：，
当且仅当时，等号成立． …（12分）
分析：（一）①从不等式的左边入手，左边对应的代数式的二倍，分别写成两两相加的形式，在三组相加的式子中分别用均值不等式，整理成最简形式，得到右边的2倍，两边同时除以2，得到结果．
②由①得1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）≥3（ab+bc+ac）从而求出ab+bc+ac的最大值；
（二）①利用分析法进行证明．要证，只要证左边展开利用基本不等式证明即可；
②由①的结论知：，从而求出最大值．
点评：本题考查均值不等式的应用，考查不等式的证明方法，是一个基础题，这种题目常常考虑分拆后利用基本不等式，因为题目分拆后才符合均值不等式的表现形式．