Question

如图所示，已知椭圆C：x2+

y2

a2

=1（a＞1）的离心率为e，点F为其下焦点，点A为其上顶点，过F的直线l：y=mx-c（其中c=

a2-1

与椭圆C相交于P，Q两点，且满足

AP

•

AQ

=

a2(a+c)2-1

2-c2

．
（1）试用a表示m²；
（2）求e的最大值；
（3）若e∈（

1

3

，

1

2

），求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，及向量的数量积公式，即可得出结论；
（2）利用（1）的结论，可得a²≥3c²，从而可得e的最大值；
（3）若e∈（

1

3

，

1

2

），可得

9

8

＜a2＜

4

3

，从而可求m的取值范围．

解答：解：（1）直线方程与椭圆方程联立，可得（a²+m²）x²-2mcx-1=0
设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=

2mc

a2+m2

，x₁x₂=

-1

a2+m2

∴y₁+y₂=m（x₁+x₂）-2c=

-2a2c

a2+m2

，y₁y₂=

a2(c2-m2)

a2+m2

∵A（0，a），∴

AP

=（x₁，y₁-a），

AQ

=（x₂，y₂-a）
∴

AP

•

AQ

=x₁x₂+（y₁-a）（y₂-a）=

a2(a+c)2-1

2-c2

∴a²+m²=2-c²=2-（a²-1）
∴m²=3-2a²；
（2）由（1）知，m²=3-2a²≥0
∴3（a²-c²）-2a²≥0
∴a²≥3c²
∴e2≤

1

3

∴e的最大值为

3

3

；
（3）∵e∈（

1

3

，

1

2

），
∴e2∈(

1

9

，

1

4

)
∴

1

9

＜

a2-1

a2

＜

1

4

∴

9

8

＜a2＜

4

3

∴

1

3

＜m2＜

3

4

∴m的取值范围为(-

3

2

，-

3

3

)∪(

3

3

，

3

2

)．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的几何性质，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．