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如图所示,已知椭圆C:x2+
y2
a2
=1(a>1)的离心率为e,点F为其下焦点,点A为其上顶点,过F的直线l:y=mx-c(其中c=
a2-1
与椭圆C相交于P,Q两点,且满足
AP
AQ
=
a2(a+c)2-1
2-c2

(1)试用a表示m2
(2)求e的最大值;
(3)若e∈(
1
3
1
2
),求m的取值范围.
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(1)直线方程与椭圆方程联立,可得(a2+m2)x2-2mcx-1=0
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设P(x1,y1)、Q(x2,y2),则x1+x2=
2mc
a2+m2
,x1x2=
-1
a2+m2

∴y1+y2=m(x1+x2)-2c=
-2a2c
a2+m2
,y1y2=
a2(c2-m2)
a2+m2

∵A(0,a),∴
AP
=(x1,y1-a),
AQ
=(x2,y2-a)
AP
AQ
=x1x2+(y1-a)(y2-a)=
a2(a+c)2-1
2-c2

∴a2+m2=2-c2=2-(a2-1)
∴m2=3-2a2
(2)由(1)知,m2=3-2a2≥0
∴3(a2-c2)-2a2≥0
∴a2≥3c2
e2
1
3

∴e的最大值为
3
3

(3)∵e∈(
1
3
1
2
),
e2∈(
1
9
1
4
)

1
9
a2-1
a2
1
4

9
8
a2
4
3

1
3
m2
3
4

∴m的取值范围为(-
3
2
,-
3
3
)∪(
3
3
3
2
)
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(文)如图所示:已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,F1、F2为其左、右焦点,A为右顶点,过F1的直线l与椭圆相交于P、Q两点,且有
1
|PF1|
+
1
|QF|
=2

(1)求椭圆长半轴长a的取值范围;
(2)若
AP
AQ
=a2且a∈(
4
3
9
5
)
,求直线l的斜率的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图所示,已知椭圆C的离心率为
3
2
,A、B、F分别为椭圆的右顶点、上顶点、右焦点,且S△ABF=1-
3
2

(1)求椭圆C的方程;
(2)已知直线l:y=kx+m被圆O:x2+y2=4所截弦长为2
3
,若直线l与椭圆C交于M、N两点.求△OMN面积的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图所示,已知椭圆C:x2+
y2
a2
=1(a>1)的离心率为e,点F为其下焦点,点A为其上顶点,过F的直线l:y=mx-c(其中c=
a2-1
与椭圆C相交于P,Q两点,且满足
AP
AQ
=
a2(a+c)2-1
2-c2

(1)试用a表示m2
(2)求e的最大值;
(3)若e∈(
1
3
1
2
),求m的取值范围.

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科目:高中数学 来源:2008-2009学年重庆市渝中区巴蜀中学高三(上)月考数学试卷(文理合卷)(解析版) 题型:解答题

(文)如图所示:已知椭圆C:,F1、F2为其左、右焦点,A为右顶点,过F1的直线l与椭圆相交于P、Q两点,且有
(1)求椭圆长半轴长a的取值范围;
(2)若,求直线l的斜率的取值范围.

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