Question

已知命题：“?x∈{x|-1＜x＜1}，使等式x²-x-m=0成立”是真命题，
（1）求实数m的取值集合M；
（2）设不等式（x-a）（x+a-2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由x²-x-m=0可得m=x²-x=(x-

1

2

)2-

1

4

结合-1＜x＜1及二次函数的性质可求集合M
（2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N分类讨论①当a＞2-a即a＞1时，N={x|2-a＜x＜a}，②当a＜2-a即a＜1时，N={x|a＜x＜2-a}，③当a=2-a即a=1时，N=φ三种情况进行求解

解答：解：（1）由x²-x-m=0可得m=x²-x=(x-

1

2

)2-

1

4

∵-1＜x＜1
∴-

1

4

≤m＜2
M={m|-

1

4

≤m＜2}
（2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N
①当a＞2-a即a＞1时，N={x|2-a＜x＜a}，则

2-a＜- 1 4 a≥2 a＞1

即a＞

9

4

②当a＜2-a即a＜1时，N={x|a＜x＜2-a}，则

a＜1 a＜- 1 4 2-a≥2

即a＜-

1

4

③当a=2-a即a=1时，N=φ，此时不满足条件
综上可得a＞

9

4

或a＜-

1

4

点评：本题主要考查了二次函数在闭区间上的值域的求解，集合之间包含关系的应用，体现了分类讨论思想的应用．