Question

如图，在四棱锥S-ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE=ED=

3

，SE⊥AD
（1）证明：平面SBE⊥平面SEC
（2）若SE=1，求直线CE与平面SBC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由平面SAD⊥平面ABCD，知SE⊥平面ABCD，所以SE⊥BE，由四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AE=AB，DE=DC，CD=3AB=3，AE=ED=

3

，可得BE⊥CE，由此能够证明BE⊥平面SEC，从而可得平面SBE⊥平面SEC；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面SBC的法向量，

CE

，利用向量的夹角公式，即可求直线CE与平面SBC所成角的余弦值．

解答：（1）证明：∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，SE?平面SAD，SE⊥AD
∴SE⊥平面ABCD，
∵BE?平面ABCD，∴SE⊥BE
∵AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，AE=ED=

3

，
∴∠AEB=30°，∠CED=60°，
∴∠BEC=90°，即BE⊥CE，
∵SE?平面SEC，CE?平面SEC，SE∩CE=E，
∴BE⊥平面SEC，
∵BE?平面SBE，
∴平面SBE⊥平面SEC；
（2）解：由（Ⅰ）知，直线ES，EB，EC两两垂直．如图，以EB为x轴，以EC为y轴，以ES为z轴，建立空间直角坐标系．
则E（0，0，0），C（0，2

3

，0），S（0，0，1），B（2，0，0），
∴

CB

=（2，-2

3

，0），

CS

=（0，-2

3

，1）．
设平面SBC的法向量为

n

=（x，y，z），则

2x-2 3 y=0 -2 3 y+z=0

，可得一个法向量

n

=（

3

，1，2

3

），
设直线CE与平面SBC所成角为θ，

CE

=（0，-2

3

，0），
则sinθ=|

n • CE

| n || CE |

|=

1

4

，
∴直线CE与平面SBC所成角的正弦值

1

4

，
∴直线CE与平面SBC所成角的余弦值为

15

4

．

点评：本题综合考查了面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，线面垂直的性质定理以及线面角等，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．