Question

【题目】某公司设计如图所示的环状绿化景观带，该景观带的内圈由两条平行线段（图中的)和两个半圆构成，设，且.

（1）若内圈周长为，则取何值时，矩形的面积最大？

（2）若景观带的内圈所围成区域的面积为，则取何值时，内圈周长最小？

Answer 1

【答案】（1）100（2）340

【解析】

试题（1）依据题设条件建立目标函数，然后运用基本不等式确定其取最大值时的取值；（2）借助题设条件建立内圈周长的目标函数，然后运用导数知识求其取得最小值时的取值：

解：设题中半圆形半径为，矩形的面积为，

内圈周长为.

（1）由题意知：，且，即，

于是

当且仅当时，等号成立.

答：当时，矩形的面积最大.

（2）由题意知：，于是，

从而.

因为，所以，即，

解得，所以，故.

因为，

所以关于的函数在上是单调减函数.

故当即时，内圈周长取得最小值，

且最小值为.