Question

已知a＞0，函数f（x）=-2asin（2x+

π

6

）+2a+b，当x∈[0，

π

2

]时，-5≤f（x）≤1．
（1）求常数a，b的值；
（2）设g（x）=f（x+

π

2

）且lgg（x）＞0，求g（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）由三角函数的性质求出用参数表示的函数的最值，由于函数的值域已知，故此两区间相等，故左端点与左端点相等，右端点与右端点相等，由此得到参数的方程，解出参数值即可．
（2）本题要求出在定义域中的单调区间，故要先求出其定义域，再由单调性求出其单调区间，由（1），f（x）=-4sin（2x+

π

6

）-1，代入即可求得g（x）的表达式，又由lgg（x）＞0，可求得函数的定义域，再由g（x）的单调性求出其在定义域内的单调区间．

解答：解：（1）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴-2asin（2x+

π

6

）∈[-2a，a]，
∴f（x）∈[b，3a+b]，又-5≤f（x）≤1．
∴

b=-5 3a+b=1

，解得

a=2 b=-5

．
（2）f（x）=-4sin（2x+

π

6

）-1，
g（x）=f（x+

π

2

）=-4sin（2x+

7π

6

）-1
=4sin（2x+

π

6

）-1，
又由lgg（x）＞0，得g（x）＞1，
∴4sin（2x+

π

6

）-1＞1，
∴sin（2x+

π

6

）＞

1

2

，
∴

π

6

+2kπ＜2x+

π

6

＜

5

6

π+2kπ，k∈Z，
由

π

6

+2kπ＜2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得
kπ＜x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

＜

5

6

π+2kπ得

π

6

+kπ≤x＜

π

3

+kπ，k∈Z．
∴函数g（x）的单调递增区间为（kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z），
单调递减区间为[

π

6

+kπ，

π

3

+kπ）（k∈Z）

点评：本题考点是三角函数的最值，考查利用三角函数的最值建立方程求参数，求三角函数的最值一般需要先研究三角函数的单调性，由单调性求最值，本题求最值采用了求复合函数最值常用的方法，由内而外，逐层求解，题后要注意体会求最值的这一技巧，由于省略了讨论函数单调性的过程，使得解题过程大大简化．