Question

已知动⊙M经过点D（-2，0），且与圆C：x²+y²-4x=0外切．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）记半径最小的圆为⊙M₀，直线l与⊙M₀相交于A，B两点，且⊙M₀上存在点P，使得

M0P

=

M0A

+

M0B

=(λ+1，3λ)（λ≠0）
①求⊙M₀的方程；
②求直线l的方程及相应的点P坐标．

Answer 1

分析：（1）利用两圆相外切的条件，结合双曲线的定义，求出双曲线的方程．
（2）①MD的最小值为c-a=1，且M（-1，0）写出方程．
②先求出点P坐标表达式，代入⊙M方程，求出点P的坐标，判断M₀APB是菱形，求出AB斜率，及M₀P的中点，点斜式写出直线l的方程．

解答：解：（1）圆C半径R=2，圆心C（2，0），（1分）由题意可得，MC=MD+2，MC-MD=2＜CD=4，（3分）
∴点M的轨迹是以C，D为焦点的双曲线的左支，其中2a=2，2c=4，∴a=1，c=2，∴b²=3．（5分）
∴点M的轨迹方程为 x2-

y2

3

=1(x＜0)．（6分）
（2）①∵MD的最小值为c-a=1，且M（-1，0），∴⊙M₀的方程为（x+1）²+y²=1．（8分）
②由

M0P

=(λ+1 ， 3λ)，把点P（λ，3λ）代入⊙M：（x+1）²+y²=1，
解得λ=0(舍)，-

1

5

，（10分）∴P(-

1

5

 ，  -

3

5

)，且kM0P=-

3

4

．（12分）
∵

OP

=

OA

+

OB

，且|

OP

|=|

OA

|=|

OB

|=r，∴M₀APB是菱形． （13分）
∴

OP

⊥

AB

，∴kAB=-

1

kM0P

=

4

3

．
又M₀P的中点为(-

6

10

，-

3

10

)，∴直线l：  y+

3

10

=

4

3

(x+

6

10

)，
即 4x-3y+

3

2

=0．（15分）

点评：本题考查轨迹方程的求法，直线和圆位置关系的综合应用，属于中档题．