Question

当0≤a＜

1

2

时，讨论函数f(x)=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R）的单调性．

Answer 1

分析：利用导数的运算法则得出f′（x），分a=0，0＜a＜

1

2

讨论起单调性．当a=0时，容易得出单调性；当0＜a＜

1

2

时，分别解出f′（x）＞0与f′（x）＜0的区间即可得出单调区间．

解答：解：f′(x)=

1

x

-a-

1-a

x2

=-

ax2-x+1-a

x2

=-

[ax+(a-1)](x-1)

x2

（x＞0），
令g（x）=ax²-x+1-a，
①当a=0时，g（x）=-x+1，当x∈（0，1）时，g（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
②当0＜a＜

1

2

时，
由f′（x）=0，x₁=1，x2=

1

a

-1．此时

1

a

-1＞1＞0，列表如下：
由表格可知：函数f（x）在区间（0，1）和(

1

a

-1，+∞)上单调递减，
在区间(1，

1

a

-1)上单调递增．
综上可知：①当a=0时，当x∈（0，1）时，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，函数f（x）单调递增．
②函数f（x）在区间（0，1）和(

1

a

-1，+∞)上单调递减，在区间(1，

1

a

-1)上单调递增．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、分类讨论的思想方法等是解题的关键．