Question

已知函数f(x)=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R）．
（Ⅰ）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）当0≤a＜

1

2

时，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（I）欲求在点（2，f（2））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（II）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案，若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．

解答：解：（Ⅰ）当a=-1时，f(x)=lnx+x+

2

x

-1，x∈（0，+∞）．
所以f′(x)=

x2+x-2

x2

，x∈（0，+∞）．（求导、定义域各一分）（2分）
因此f′（2）=1．即曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1．（3分）
又f（2）=ln2+2，（4分）
所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为x-y+ln2=0．（5分）
（Ⅱ）因为f(x)=lnx-ax+

1-a

x

-1，
所以f′(x)=

1

x

-a+

a-1

x2

=-

ax2-x+1-a

x2

，x∈（0，+∞）．（7分）
令g（x）=ax²-x+1-a，x∈（0，+∞），
①当a=0时，g（x）=-x+1，x∈（0，+∞），
当x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；（8分）
当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，此时f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．（9分）
②当0＜a＜

1

2

时，由f′（x）=0即解得x₁=1，x2=

1

a

-1，此时

1

a

-1＞1＞0，
所以当x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；（10分）x∈(1，

1

a

-1)时，g（x）＜0，此时f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；（11分）x∈(

1

a

-1，+∞)时，，此时，函数f（x）单调递减．（12分）
综上所述：当a=0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
当0＜a＜

1

2

时，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在(1，

1

a

-1)上单调递增；
在(

1

a

-1，  +∞)上单调递减．（13分）

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等知识，解答的关键是导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．