Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-

3

2

ax2-(a-3)x+b
（1）若函数f（x）在P（0，f（0））的切线方程为y=5x+1，求实数a，b的值：
（2）当a＜3时，令g(x)=

f′(x)

x

，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用导数的几何意义：导数在切点处的导数值是曲线的切线的斜率，再与y=5x+l比较列出关于a，b的方程组，解之即得实数a，b的值．
（2）先求出g（x）的导数，令导函数为0求出根，判断根左右两边的导函数符号，判断出函数的单调性，求出函数的最值．

解答：解：（1）f（x）=x²-3ax-a+3，
函数f（x）在点P（0，f（0））的切线方程为y=5x+1，

f′(0)=-a+3=5 f(0)=b=1

则∴a=-2，b=1，（4分）
（2）g(x)=

f′(x)

x

-

x2-3ax-a+3

x

g′(x)=

(2x-3a)x-(x2-3ax-a+3)

x2

=

x2-(3-a)

x2

（6分）
因为在[1，2]上求y=g（x）的最大值，故只讨论x＞O时，g（x）的单调性．
∵a＜3∴3-a＞O，令g’（x）=0

•

?

x=

3-a

∵当0＜x＜

3-a

时，g'（x）＜O，g（x）单调递减；
当x≥

．	3-a

时，g'（x）＞0．g（x）单调递增．lO分
∴当x=1或x=2时．g（x）取得最大值g（1）或g（2）
其中g（1）=4-4a，g(2)=

7-7a

2

，由g（1）＞g（2）得4-4a＞

7-7a

2

?a＜1
故当a＜1时，g（x）_max=g（1）=4-4a；
当1≤a＜3时，g(x)max=g(2)=

7-7a

2

（14分）

点评：本题考查导数的几何意义：导数在切点处的导数值是曲线的切线的斜率、函数的单调性与导函数符号的关系、利用导数求函数的最值、分类讨论的数学思想方法．