Question

已知函数f(x)=(1-

a

x

)ex，若同时满足条件：
①?x₀∈（0，+∞），x₀为f（x）的一个极大值点；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
则实数a的取值范围是（　　）

A．（4，8]

B．[8，+∞）

C．（-∞，0）∪[8，+∞）

D．（-∞，0）∪（4，8]

Answer 1

分析：求导数，由①得到

a 2 ＞0   f(0)＞0   △=a2-4a＞0

；
由②?x∈（8，+∞），f（x）＞0，故只需f（x）在（8，+∞）上的最小值大于0即可，
分别解出不等式即可得到实数a的取值范围为4＜a≤8．

解答：解：由于f(x)=(1-

a

x

)ex，则f′(x)=(

a

x2

-

a

x

+1)ex=

x2-ax+a

x2

•ex
令f′（x）=0，则x1=

a- a2-4a

2

，x2=

a+ a2-4a

2

故函数f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上递增，在（x₁，x₂）上递减
由于?x∈（8，+∞），f（x）＞0，故只需f（x）在（8，+∞）上的最小值大于0即可，
当x₂＞8，即a＞

64

7

时，函数f（x）在（8，+∞）上的最小值为f(x2)=(1-

a

x2

)ex2＞0，此时无解；
当x₂≤8，即a≤

64

7

时，函数f（x）在（8，+∞）上的最小值为f(8)=(1-

a

8

)e8≥0，解得a≤8．
又由?x₀∈（0，+∞），x₀为f（x）的一个极大值点，故

a 2 ＞0   f(0)＞0   △=a2-4a＞0

解得a＞4；
故实数a的取值范围为4＜a≤8
故答案为 A

点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，属于基础题．