Question

已知函数f(x)=

x-1

x+a

+ln(x+1)，其中实数a≠1．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若f（x）在x=1处取得极值，试讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析：首先求出函数的导数及在点f（0）处的值，然后求出在该点的切线方程，第二问根据函数的导数与极值的关系求出a的值，然后根据函数的导数与单调性的关系讨论函数的单调性．

解答：解：（1）f′(x)=

x+a-(x-1)

(x+a)2

+

1

x+1

=

a+1

(x+a)2

+

1

x+1

，
当a=2时，f′（0）=

7

4

，而f（0）=-

1

2

，
所以曲线在点（0，f（0））处的切线方程为：y-（-

1

2

）=

7

4

（x-0），即7x-4y-2=0．
（2）因为a≠1，由（1）可知f′(1)=

a+1

(1+a)2

+

1

1+1

=

1

a+1

+

1

2

；
又因为f（x）在x=1处取得极值，
所以

1

a+1

+

1

2

=0，解得a=-3；
此时f(x)=

x-1

x-3

+ln(x+1)，定义域（-1，3）∪（3，+∞）；
f′(x)=

-2

(x-3)2

+

1

x+1

=

(x-1)(x-7)

(x-3)2(x+1)

，
由f′（x）=0得x₁=1，x₂=7，当-1＜x＜1或x＞7时f′（x）＞0；
当1＜x＜7且x≠3时f′（x）＜0；
由上讨论可知f（x）在（-1，1]，[7，+∞）时是增函数，在[1，3），（3，7]上是减函数．

点评：掌握函数的导数与极值和单调性的关系．