Question

定义在D上的函数f（x）如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f(x)=

1-m•2x

1+m•2x

．
（1）m=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，1]上是以3为上界的有界函数，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当m=1时，f(x)=

1-2x

1+2x

=

2

1+2x

-1，易求值域f（x）∈（0，1），并判断为f（x）在（-∞，0）上是为有界函数．
（2）若函数f（x）在[0，1]上是以3为上界的有界函数，则有|f（x）|≤3在[0，1]上恒成立．转化为不等式（组）恒成立问题．

解答：解：（1）当m=1时，f(x)=

1-2x

1+2x

=

2

1+2x

-1
∵x＜0，∴0＜2^x＜1，
∴f（x）∈（0，1），满足|f（x）|≤1，
f（x）在（-∞，0）上是为有界函数．
（2）若函数f（x）在[0，1]上是以3为上界的有界函数，则有|f（x）|≤3在[0，1]上恒成立．
∴-3≤f（x）≤3，即-3≤

1-m•2x

1+m•2x

≤3，

1-m•2x 1+m•2x -3≤0 1-m•2x 1+m•2x +3≥0

化简得

m•2x+2+2 1+m•2x ≥0 m•2x+1+4 1+m•2x ≥0

，即

m＜- 1 2x 或m≥-  1 2x+1 m≤- 2 2x 或m＞- 1 2x

上面不等式组对一切x∈[0，1]都成立，
故取

m＜-1或m≥- 1 4 m≤-2或m＞- 1 2

，即m≤-2或m≥-

1

4

．

点评：本题主要考查函数值域求解，恒成立问题．考查转化、计算能力．