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定义在D上的函数f(x),如果满足对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界,已知函数f(x)=1+x+ax2
(1)当a=-1时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域,判断函数f(x)在(-∞,0)上是否为有界函数,并说明理由;
(2)若函数f(x)在x∈[1,4]上是以3为上界的有界函数,求实数a的取值范围.
分析:(1)当a=-1时,函数表达式为f(x)=1+x-x2,可得f(x)在(-∞,0)上是单调增函数,它的值域为(-∞,1),从而|f(x)|的取值范围是[0,+∞),因此不存在常数M>0,使|f(x)|≤M成立,故f(x)不是(-∞,0)上的有界函数.
(2)函数f(x)在x∈[1,4]上是以3为上界的有界函数,即-3≤f(x)≤3在[1,4]上恒成立,代入函数表达式并化简整理,得-
4
x2
-
1
x
≤a≤
2
x2
-
1
x
在[1,4]上恒成立,接下来利用换元法结合二次函数在闭区间上最值的求法,得到(-
4
x2
-
1
x
max=-
1
2
,(
2
x2
-
1
x
min=-
1
8
,所以,实数a的取值范围是[-
1
2
,-
1
8
].
解答:解:(1)当a=-1时,函数f(x)=1+x-x2=-(x-
1
2
2+
5
4

∴f(x)在(-∞,0)上是单调增函数,f(x)<f(0)=1
∴f(x)在(-∞,0)上的值域为(-∞,1)
因此|f(x)|的取值范围是[0,+∞)
∴不存在常数M>0,使|f(x)|≤M成立,故f(x)不是(-∞,0)上的有界函数.
(2)若函数f(x)在x∈[1,4]上是以3为上界的有界函数,
则|f(x)|≤3在[1,4]上恒成立,即-3≤f(x)≤3
∴-3≤ax2+x+1≤3
-x-4
x2
≤a≤
-x+2
x2
,即-
4
x2
-
1
x
≤a≤
2
x2
-
1
x
在[1,4]上恒成立,
∴(-
4
x2
-
1
x
max≤a≤(
2
x2
-
1
x
min
令t=
1
x
,则t∈[
1
4
,1]
设g(t)=-4t2-t=-4(t+
1
8
2+
1
16
,则当t=
1
4
时,g(t)的最大值为-
1
2

再设h(t)=2t2-t=2(t-
1
4
2-
1
8
,则当t=
1
4
时,h(t)的最小值为-
1
8

∴(-
4
x2
-
1
x
max=-
1
2
,(
2
x2
-
1
x
min=-
1
8

所以,实数a的取值范围是[-
1
2
,-
1
8
].
点评:本题以一个特定的二次函数在闭区间上有界的问题为例,考查了函数单调性的性质和二次函数在闭区间上值域等知识点,属于中档题.请同学们注意解题过程中变量分离和换元法求值域的思想,并学会运用.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.
已知函数f(x)=1+a•(
1
2
x+(
1
4
x;g(x)=
1-m•x2
1+m•x2

(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)值域并说明函数f(x)在(-∞,0)上是否为有界函数?
(Ⅱ)若函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)已知m>-1,函数g(x)在[0,1]上的上界是T(m),求T(m)的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)=1+a•(
1
2
)x+(
1
4
)x
; g(x)=
1-m•x2
1+m•x2

(1)若函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,求实数a的取值范围;
(2)已知m>-1,函数g(x)在[0,1]上的上界是T(m),求T(m)的取值范围.

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对于定义在D上的函数f(x),若存在距离为d的两条直线y=kx+m1和y=kx+m2,使得对任意x∈D都有kx+m1≤f(x)≤kx+m2恒成立,则称函数f(x)(x∈D)有一个宽度为d的通道.给出下列函数:①f(x)=
1
x
,②f(x)=sinx,③f(x)=
x2-1
,其中在区间[1,+∞)上通道宽度可以为1的函数有(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

如右图所示,定义在D上的函数f(x),如果满足:对?x∈D,常数A,都有f(x)≥A成立,则称函数f(x)在D上有下界,其中A称为函数的下界.(提示:图中的常数A可以是正数,也可以是负数或零)
(1)试判断函数f(x)=x3+
48
x
在(0,+∞)上是否有下界?并说明理由;
(2)已知某质点的运动方程为S(t)=at-2
t+1
,要使在t∈[0,+∞)上的每一时刻该质点的瞬时速度是以A=
1
2
为下界的函数,求实数a的取值范围.

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