Question

定义在D上的函数f（x），如果满足对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界，已知函数f（x）=1+x+ax²
（1）当a=-1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，并说明理由；
（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=-1时，函数表达式为f（x）=1+x-x²，可得f（x）在（-∞，0）上是单调增函数，它的值域为（-∞，1），从而|f（x）|的取值范围是[0，+∞），因此不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，故f（x）不是（-∞，0）上的有界函数．
（2）函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，即-3≤f（x）≤3在[1，4]上恒成立，代入函数表达式并化简整理，得-

4

x2

-

1

x

≤a≤

2

x2

-

1

x

在[1，4]上恒成立，接下来利用换元法结合二次函数在闭区间上最值的求法，得到（-

4

x2

-

1

x

）_max=-

1

2

，（

2

x2

-

1

x

）_min=-

1

8

，所以，实数a的取值范围是[-

1

2

，-

1

8

]．

解答：解：（1）当a=-1时，函数f（x）=1+x-x²=-（x-

1

2

）²+

5

4

∴f（x）在（-∞，0）上是单调增函数，f（x）＜f（0）=1
∴f（x）在（-∞，0）上的值域为（-∞，1）
因此|f（x）|的取值范围是[0，+∞）
∴不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，故f（x）不是（-∞，0）上的有界函数．
（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，
则|f（x）|≤3在[1，4]上恒成立，即-3≤f（x）≤3
∴-3≤ax²+x+1≤3
∴

-x-4

x2

≤a≤

-x+2

x2

，即-

4

x2

-

1

x

≤a≤

2

x2

-

1

x

在[1，4]上恒成立，
∴（-

4

x2

-

1

x

）_max≤a≤（

2

x2

-

1

x

）_min，
令t=

1

x

，则t∈[

1

4

，1]
设g（t）=-4t²-t=-4（t+

1

8

）²+

1

16

，则当t=

1

4

时，g（t）的最大值为-

1

2

再设h（t）=2t²-t=2（t-

1

4

）²-

1

8

，则当t=

1

4

时，h（t）的最小值为-

1

8

∴（-

4

x2

-

1

x

）_max=-

1

2

，（

2

x2

-

1

x

）_min=-

1

8

所以，实数a的取值范围是[-

1

2

，-

1

8

]．

点评：本题以一个特定的二次函数在闭区间上有界的问题为例，考查了函数单调性的性质和二次函数在闭区间上值域等知识点，属于中档题．请同学们注意解题过程中变量分离和换元法求值域的思想，并学会运用．