精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.
已知函数f(x)=1+a•(
1
2
x+(
1
4
x;g(x)=
1-m•x2
1+m•x2

(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)值域并说明函数f(x)在(-∞,0)上是否为有界函数?
(Ⅱ)若函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)已知m>-1,函数g(x)在[0,1]上的上界是T(m),求T(m)的取值范围.
分析:(Ⅰ)将a=1代入f(x)可得f(x)=1+(
1
2
)x+(
1
4
)x
,利用指数函数的单调性判断出f(x)在(-∞,0)上是单调递减函数,即可求得f(x)>f(0),从而得到f(x)的值域,根据有界函数函数的定义,即可判断出f(x)不是有界函数;
(Ⅱ)根据有界函数的定义,可得|f(x)|≤3在[0,+∞)上恒成立,利用参变量分离转化为-4•2x-(
1
2
)x≤a≤2•2x-(
1
2
)x
在[0,+∞)上恒成立,令t=2x,则h(t)=-4t-
1
t
p(t)=2t-
1
t
,问题转化为求h(t)的最大值和p(t)最小值,利用函数单调性的定义,分别判断出函数h(t)和p(t)的单调性,即可求得最值,从容求得a的取值范围.
(Ⅲ)将函数g(x)=
1-m•x2
1+m•x2
变形为g(x)=-1+
2
m•x2+1
,对参数m进行分类讨论,当m>0时,确定函数g(x)的单调性,根据单调性可得g(x)的取值范围,从而确定|g(x)|的范围,利用有界函数的定义,转化为|g(x)|≤T(m)任意x∈[0,1]恒成立,利用所求得的g(x)的范围,即可求得T(m)的取值范围,同理研究当m=0和当-1<m<0时的情况,综上所求范围,即可求得T(m)的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=1+a•(
1
2
x+(
1
4
x
∴当a=1时,f(x)=1+(
1
2
)x+(
1
4
)x

∵y=(
1
4
)x
和y=(
1
2
)x
在R上是单调递减函数,
∴f(x)在R上是单调递减函数,
∴f(x)在(-∞,0)上是单调递减函数,
∴f(x)>f(0)=3,
∴f(x)在(-∞,0)的值域为(3,+∞),
∴|f(x)|>3,
故不存在常数M>0,使|f(x)|≤M成立,
∴函数f(x)在(-∞,0)上不是有界函数;
(Ⅱ)∵函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,
∴由题意知,|f(x)|≤3在[0,+∞)上恒成立,
∴-3≤f(x)≤3在[1,+∞)上恒成立,
-4-(
1
4
)x≤a•(
1
2
)x≤2-(
1
4
)x
在[0,+∞)上恒成立,
-4•2x-(
1
2
)x≤a≤2•2x-(
1
2
)x
在[0,+∞)上恒成立,
[-4•2x-(
1
2
)
x
]max≤a≤[2•2x-(
1
2
)
x
]min

令t=2x,由x∈[0,+∞),可得t≥1,
h(t)=-4t-
1
t
p(t)=2t-
1
t

下面判断函数h(t)和p(t)的单调性:
设1≤t1<t2,则t2-t1>0,4t1t2-1>0,t1t2>0,2t1t2+1>0,
h(t1)-h(t2)=
(t2-t1)(4t1t2-1)
t1t2
>0

p(t1)-p(t2)=
(t1-t2)(2t1t2+1)
t1t2
<0

∴h(t1)>h(t2),p(t1)<p(t2),
∴h(t)在[1,+∞)上递减,p(t)在[1,+∞)上递增
∴h(t)在[1,+∞)上的最大值为h(1)=-5,
p(t)在[1,+∞)上的最小值为p(1)=1,
∴-5≤a≤1,
∴实数a的取值范围为[-5,1];
(Ⅲ)g(x)=
1-m•x2
1+m•x2
=-1+
2
m•x2+1

①当m>0时,x∈[0,1],
∵y=m•x2+1在[0,1]上单调递增,
∴g(x)在[0,1]上递减,
∴g(1)≤g(x)≤g(0),即
1-m
1+m
≤g(x)≤1

|
1-m
1+m
|<1

∴|g(x)|<1,
∵函数g(x)在[0,1]上的上界是T(m),由有界函数的定义可得,
|g(x)|≤T(m)任意x∈[0,1]恒成立,
∴T(m)≥1;
②当m=0时,g(x)=1,|g(x)|=1,
∵函数g(x)在[0,1]上的上界是T(m),由有界函数的定义可得,
|g(x)|≤T(m)任意x∈[0,1]恒成立,
∴T(m)≥1;
③当-1<m<0时,x∈[0,1],
∵y=m•x2+1在[0,1]上单调递减,
∴g(x)在[0,1]上递增,
∴g(0)≤g(x)≤g(1),即1≤g(x)≤
1-m
1+m

|g(x)|<
1-m
1+m

∵函数g(x)在[0,1]上的上界是T(m),由有界函数的定义可得,
|g(x)|≤T(m)任意x∈[0,1]恒成立,
T(m)≥
1-m
1+m

综合①②③,当m≥0时,T(m)的取值范围是[1,+∞),
当-1<m<0时,T(m)的取值范围是[
1-m
1+m
,+∞)
点评:本题考查了函数的恒成立问题,函数的最值的应用.对于函数的恒成立问题,一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解.本题选用了参变量分离的方法转化成求最值问题.本题涉及了函数的求最值和值域问题,解题中主要运用了函数的单调性求解最值和值域.对于本题中的新定义问题,要严格按照题中所给定义分析,将陌生的问题转化为所熟悉的问题,本题转化为恒成立问题.属于难题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

定义在D上的函数f(x),如果满足对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界,已知函数f(x)=1+x+ax2
(1)当a=-1时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域,判断函数f(x)在(-∞,0)上是否为有界函数,并说明理由;
(2)若函数f(x)在x∈[1,4]上是以3为上界的有界函数,求实数a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)=1+a•(
1
2
)x+(
1
4
)x
; g(x)=
1-m•x2
1+m•x2

(1)若函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,求实数a的取值范围;
(2)已知m>-1,函数g(x)在[0,1]上的上界是T(m),求T(m)的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

对于定义在D上的函数f(x),若存在距离为d的两条直线y=kx+m1和y=kx+m2,使得对任意x∈D都有kx+m1≤f(x)≤kx+m2恒成立,则称函数f(x)(x∈D)有一个宽度为d的通道.给出下列函数:①f(x)=
1
x
,②f(x)=sinx,③f(x)=
x2-1
,其中在区间[1,+∞)上通道宽度可以为1的函数有(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如右图所示,定义在D上的函数f(x),如果满足:对?x∈D,常数A,都有f(x)≥A成立,则称函数f(x)在D上有下界,其中A称为函数的下界.(提示:图中的常数A可以是正数,也可以是负数或零)
(1)试判断函数f(x)=x3+
48
x
在(0,+∞)上是否有下界?并说明理由;
(2)已知某质点的运动方程为S(t)=at-2
t+1
,要使在t∈[0,+∞)上的每一时刻该质点的瞬时速度是以A=
1
2
为下界的函数,求实数a的取值范围.

查看答案和解析>>

同步练习册答案