Question

定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f(x)=1+a•(

1

2

)x+(

1

4

)x； g(x)=

1-m•x2

1+m•x2

（1）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
（2）已知m＞-1，函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），求T（m）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意知，|f（x）|≤3在[1，+∞）上恒成立．可得-3≤f（x）≤3，-4-(

1

4

)x≤a•(

1

2

)x≤2-(

1

4

)x，化为-4•2x-(

1

2

)x≤a≤2•2x-(

1

2

)x在[0，+∞）上恒成立，因此[-4•2x-(

1

2

)x]max≤a≤[2•2x-(

1

2

)x]min．设2^x=t，h(t)=-4t-

1

t

，p(t)=2t-

1

t

，先证明其单调性，即可得出其最值．
（2）g(x)=-1+

2

m•x2+1

，对m分类讨论：m＞0，m=0，-1＜m＜0，利用二次函数和反比例函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）由题意知，|f（x）|≤3在[1，+∞）上恒成立．
∴-3≤f（x）≤3，-4-(

1

4

)x≤a•(

1

2

)x≤2-(

1

4

)x，
∴-4•2x-(

1

2

)x≤a≤2•2x-(

1

2

)x在[0，+∞）上恒成立，
∴[-4•2x-(

1

2

)x]max≤a≤[2•2x-(

1

2

)x]min．
设2^x=t，h(t)=-4t-

1

t

，p(t)=2t-

1

t

，
由x∈[0，+∞）得 t≥1，设1≤t₁＜t₂，
h(t1)-h(t2)=

(t2-t1)(4t1t2-1)

t1t2

＞0，
p(t1)-p(t2)=

(t1-t2)(2t1t2+1)

t1t2

＜0．
∴h（t）在[1，+∞）上递减，p（t）在[1，+∞）上递增，
h（t）在[1，+∞）上的最大值为h（1）=-5，p（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=1．
∴实数a的取值范围为[-5，1]．
（2）g(x)=-1+

2

m•x2+1

，
若m＞0，x∈[0，1]，则g（x）在[0，1]上递减，
∴g（1）≤g（x）≤g（0）即

1-m

1+m

≤g(x)≤1．
若-1＜m＜0，x∈[0，1]，则g（x）在[0，1]上递增，
∴g（0）≤g（x）≤g（1）即1≤g(x)≤

1-m

1+m

．
①当m＞0时，|

1-m

1+m

|＜1，|g（x）|＜1此时  T（m）≥1，
②当m=0，即，g（x）=1，|g（x）|=1此时  T（m）≥1，
③当-1＜m＜0时，|g(x)|＜

1-m

1+m

，此时 T(m)≥

1-m

1+m

．
综上所述：当m≥0时，T（m）的取值范围是[1，+∞）；
当-1＜m＜0时，T（m）的取值范围是  [

1-m

1+m

，+∞)．

点评：本题综合考查了恒成立问题的等价转化、指数函数类型的函数的单调性、分类讨论的思想方法等基础知识与基本方法，属于难题．