Question

已知函数f(x)=lnx，g(x)=

1

2

x2+a（a为常数），直线l与函数f（x）、g（x）的图象都相切，且l与函数f（x）的图象的切点的横坐标为1．
（1）求直线l的方程及a的值；
（2）当k＞0时，试讨论方程f（1+x²）-g（x）=k的解的个数．

Answer 1

分析：（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可，再根据直线l与函数f（x）、g（x）的图象都相切建立等量关系，即可求出a的值；
（2）先令y₁=f（1+x²）-g（x）求出y₁’=0的值，再讨论满足y₁’=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，由函数y₁在R上各区间上的增减及极值情况，可得方程f（1+x²）-g（x）=k的解的个数．

解答：解：（1）f′（x）=

1

x

，f′（1）=1，故直线l的斜率为1，
切点为（1，f（1）），即（1，0）∴l：y=x-1 ①
又∵g′（x）=x∴g′（1）=1，切点为（1，

1

2

+a）
∴l：y-（

1

2

+a）=x-1，即y=x-

1

2

+a ②
比较①和②的系数得-

1

2

+a=-1，∴a=-

1

2

． （6分）
（2）由f（1+x²）-g（x）=k，即ln(1+x2)-

1

2

x2+

1

2

=k
设y₁=ln（1+x²）-

1

2

x2+

1

2

，y2=ky′1=

2x

1+x2

-x=

x(1-x)(x+1)

1+x2

．
令y'₁=1，解得x=0，-1，1．

由函数y₁在R上各区间上的增减及极值情况，可得
（1）当0＜k＜

1

2

时有两个解；
（2）当k=

1

2

时有3个解；
（3）当

1

2

＜k＜ln2时有4个解
（4）当k=ln2时有2个解；
（5）当k＞ln2时无解．（13分）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的极值和方程解的个数，同时考查了函数与方程、分类讨论的思想，属于基础题．