Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，椭圆C任意一点P到两个焦点和的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过（0，-2）的直线l与椭圆C交于A、B两点，且（O为坐标原点），求直线l的方程．

Answer 1

解：（1）根据椭圆的定义，知 a=2，，则． …（2分）
所以动点M的轨迹方程为． …（4分）
（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx-2，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），∵，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∵y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，∴y₁y₂=k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4，
∴（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0．①
由方程组
得（1+4k²）x²-16kx+12=0．
则，，
代入①，得，
即k²=4，解得k=2或k=-2，
∴直线l的方程是y=2x-2或y=-2x-2．
分析：（1）根据椭圆的定义，知 a=2，，则．由此能求出动点M的轨迹方程．
（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx-2，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由，知x₁x₂+y₁y₂=0，由y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，知y₁y₂=k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4，由此入手能够求出直线l的方程．
点评：本题考查椭圆方程和直线方程的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．