Question

18．已知A={x|x²-6x+8＜0}，B={x|（x-a）（x-3a）＜0}，（a≥0）
（Ⅰ）若A⊆B，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出集合A={x|2＜x＜4}，为写出集合B，讨论a：a=0时，B=∅，a＞0时，B={x|a＜x＜3a}，根据A⊆B便知道a＞0，还要满足$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3a≥4}\end{array}\right.$，解该不等式组即得实数a的取值范围；
（Ⅱ）a=0时，显然可看出满足A∩B=∅，a＞0时，根据A∩B=∅从而看出a还要满足a≥4，或3a≤2，两种情况的a的范围求并集即可得出实数a的取值范围．

解答 解：A={x|2＜x＜4}；
当a=0时 B=φ；当a＞0时，B={x|a＜x＜3a}；
∴（Ⅰ） A⊆B时，$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3a≥4}\end{array}\right.$，∴$a∈[\frac{4}{3}，2]$；
即实数a的取值范围为[$\frac{4}{3}$，2]；
（Ⅱ）①a=0时，显然满足A∩B=∅；
②a＞0时，要使A∩B=∅，则a≥4，或0＜3a≤2；
即a≥4，或$0＜a≤\frac{2}{3}$；
∴综上得实数a的取值范围为[0，$\frac{2}{3}$]∪[4，+∞）．

点评 考查描述法表示集合，解一元二次不等式，子集的定义，交集的定义，并且不要忘了讨论a=0的情况．