Question

9．用[x]表示不大于x的最大整数，如：[1.3]=1，[3]=3，[-1.2]=-2，则方程x²-2[x]-3=0的解的个数有3个，所有解的和是2+$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由于x≥[x]，所以可把方程x²-2[x]-3=0写成2[x]=x²-3，可得不等式2x≥x²-3，求得x的取值范围．再将x的取值范围分为5类求解即可得到结论．

解答 解：因为x≥[x]，方程变形为2[x]=x²-3，
2x≥x²-3，
解此不等式得：-1≤x≤3．
现将x的取值范围分为5类进行求解．
（1）-1≤x＜0，则[x]=-1，
原方程化为x²-1=0，
解得x=-1；
（2）0≤x＜1 则[x]=0，
原方程化为x²-3=0，
无解；
（3）1≤x＜2，则[x]=1，
原方程化为x²-5=0，
无解；
（4）2≤x＜3，则[x]=2，
原方程化为x²-7=0，
解得x=$\sqrt{7}$；
（5）x=3显然是原方程的解．
综合以上，所以原方程的解为-1，$\sqrt{7}$，3．
故答案为：3，$2+\sqrt{7}$．

点评 本题考查了含取整函数的方程，任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：x=[x]+{x}，其中{x}∈[0，+∞）． 解题的关键是确定x的取值范围，从而得到[x]的值．注意分情况进行讨论．