Question

14．已知|$\overrightarrow a}$|=$\sqrt{2}$，|${\overrightarrow b}$|=1．
（1）若$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夹角θ为45°，求|$\overrightarrow a-\overrightarrow b}$|；
（2）若（$\overrightarrow a-\overrightarrow b$）⊥$\overrightarrow b$，求$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角θ．

Answer 1

分析 （1）利用|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）²，直接计算即可；
（2）通过$（\overrightarrow a-\overrightarrow{b）}⊥\overrightarrow b$，可得（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=0，化简得$\sqrt{2}$cosθ=1，结合0°≤θ≤180°即得结论．

解答 解：（1）∵$|{\overrightarrow a}|=\sqrt{2}$，$|{\overrightarrow b}|=1$，$\overrightarrow{a，}\overrightarrow b$的夹角θ为45°，
∴${|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|^2}={（\overrightarrow a-\overrightarrow b）^2}={\overrightarrow a^2}-2\overrightarrow a•\overrightarrow b+{\overrightarrow b^2}$
=2-2|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cos45°+1
=2-2$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$+1
=1；
（2）∵$（\overrightarrow a-\overrightarrow{b）}⊥\overrightarrow b$，
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=0，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=${\overrightarrow{b}}^{2}$，
即|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cosθ=1，
∴$\sqrt{2}$cosθ=1，
又∵0°≤θ≤180°，
∴θ=45°．

点评 本题考查平面向量的相关知识，注意解题方法的积累，属于基础题．