Question

19．已知f（x）=sinx+acosx．
（1）若$a=\sqrt{3}$，求f（x）的最大值及对应的x的值；
（2）若$f（{\frac{π}{4}}）=0$，$f（x）=\frac{1}{5}（0＜x＜π）$，求tanx的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最大值及对应的x的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinx、cosx的值，可得tanx的值．

解答 解：（1）若$a=\sqrt{3}$，$f（x）=sinx+\sqrt{3}cosx=2sin（x+\frac{π}{3}）$，
当$sin（x+\frac{π}{3}）=1⇒x+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+2kπ（k∈z）$，$⇒x=\frac{π}{6}+2kπ（k∈z）$时，f（x）有最大值为2．
（2）$f（{\frac{π}{4}}）=0⇒a=-1$，∵$sinx-cosx=\frac{1}{5}$，∴${（sinx-cosx）^2}=\frac{1}{25}$，
∴$sinx•cosx=\frac{12}{25}$，∴$（cosx+\frac{1}{5}）cosx=\frac{12}{25}⇒25{cos^2}x+5cosx-12=0$，
∴$\left\{\begin{array}{l}cosx=\frac{3}{5}\\ sinx=\frac{4}{5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}cosx=-\frac{4}{5}\\ sinx=-\frac{3}{5}\end{array}\right.$．
∵x∈（0，π），∴$\left\{\begin{array}{l}cosx=\frac{3}{5}\\ sinx=\frac{4}{5}\end{array}\right.$，∴tanx=$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，同角三角函数的基本关系，属于中档题．