Question

11．已知数列{a_n}的通项a_n是二项式（1+x）ⁿ与${（1+\sqrt{x}）^{2n}}$的展开式中的所有x的次数相同的各项系数之和，求数列{a_n}的通项及前n项和S_n．

Answer 1

分析 由（1+x）ⁿ可得xⁱ的系数为${∁}_{n}^{i}$；${（1+\sqrt{x}）^{2n}}$的展开式中xⁱ的系数为${∁}_{2n}^{2i}$，可得a_n=2ⁿ+$\frac{1}{2}×{2}^{2n}$．再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：由（1+x）ⁿ可得xⁱ的系数为${∁}_{n}^{i}$；${（1+\sqrt{x}）^{2n}}$的展开式中xⁱ的系数为${∁}_{2n}^{2i}$，
∴a_n=2ⁿ+$\frac{1}{2}×{2}^{2n}$=${2}^{n}+\frac{1}{2}×{4}^{n}$．
∴S_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$+$\frac{1}{2}×\frac{4（{4}^{n}-1）}{4-1}$=$\frac{{2}^{2n+1}}{3}$+2ⁿ⁺¹-$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了等比数列的前n项和公式、二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．