Question

4．数列{x_n}满足：x₁=$\frac{1}{3}$，x_n+1=x_n²+x_n，则下述和数$\frac{1}{1+{x}_{1}}$+$\frac{1}{1+{x}_{2}}$+$\frac{1}{1+{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{1+{x}_{2015}}$的整数部分的值为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由x₁=$\frac{1}{3}$，x_n+1=x_n²+x_n，可得$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=x_n+1＞1，因此数列{x_n}单调递增，可得当n≥4时，x_n＞1．另一方面由x_n+1=x_n²+x_n，可得$\frac{1}{{x}_{n}}-\frac{1}{{x}_{n+1}}=\frac{1}{1+{x}_{n}}$．利用“裂项求和”可得和数$\frac{1}{1+{x}_{1}}$+$\frac{1}{1+{x}_{2}}$+$\frac{1}{1+{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{1+{x}_{2015}}$=3-$\frac{1}{{x}_{2016}}$=2+$（1-\frac{1}{{x}_{2016}}）$，即可得出整数部分的值．

解答 解：由x₁=$\frac{1}{3}$，x_n+1=x_n²+x_n，可得$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=x_n+1＞1，
∴数列{x_n}单调递增，可得x₂=$\frac{4}{9}$，x₃=$\frac{52}{81}$，x₄=$\frac{52}{81}×（\frac{52}{81}+1）$＞1，
∴当n≥4时，x_n＞1．
∴$0＜1-\frac{1}{{x}_{2016}}$＜1．
∵x_n+1=x_n²+x_n，∴$\frac{1}{{x}_{n}}-\frac{1}{{x}_{n+1}}=\frac{1}{1+{x}_{n}}$．
∴和数$\frac{1}{1+{x}_{1}}$+$\frac{1}{1+{x}_{2}}$+$\frac{1}{1+{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{1+{x}_{2015}}$=$（\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2}}）$+$（\frac{1}{{x}_{2}}-\frac{1}{{x}_{3}}）$+…+$（\frac{1}{{x}_{2015}}-\frac{1}{{x}_{2016}}）$=3-$\frac{1}{{x}_{2016}}$=2+$（1-\frac{1}{{x}_{2016}}）$的整数部分的值为2．
故选：C．

点评 本题考查了数列的单调性、“裂项求和”，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．