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如图,在多面体ABDEC中,AE⊥平面ABC,BD∥AE,且AC=AB=BC=AE=1,BD=2,F为CD中点.
(I)求证:EF∥平面ABC;
(II)求证:EF⊥平面BCD;
(III)求多面体ABDEC的体积.
分析:(Ⅰ)取BC中点G点,连接AG,FG,则四边形EFGA为平行四边形,于是EF∥AG,利用线面平行的判定定理即可证得EF∥平面ABC;
(Ⅱ)易证AG⊥平面BCD,而EF∥AG,从而由线面垂直的性质可得EF⊥平面BCD;
(Ⅲ)过C作CH⊥AB,则CH⊥平面ABDE易求CH=
3
2
,而VC-ABDE=
1
3
×S四边形ABDE×CH,计算即可.
解答:证明:(Ⅰ)取BC中点G点,连接AG,FG,
∵F,G分别为DC,BC中点,
∴FG
.
.
1
2
DB
.
.
EA,
∴四边形EFGA为平行四边形,
∴EF∥AG.
又∵EF?平面ABC,AG?平面ABC,
∴EF∥平面ABC,….4分
(2)∵AE⊥面ABC,BD∥AE,
∴DB⊥平面ABC,
又∵DB?平面BCD,
∴平面ABC⊥平面BCD,
又∵G为 BC中点且AC=AB=BC,
∴AG⊥BC,
∴AG⊥平面BCD,
又∵EF∥AG,
∴EF⊥平面BCD ….8分
(3)过C作CH⊥AB,则CH⊥平面ABDE且CH=
3
2

∴VC-ABDE=
1
3
×S四边形ABDE×CH
=
1
3
×
(1+2)
2
×1×
3
2

=
3
4
…12分.
点评:本题考查直线与平面平行的判定与直线与平面垂直的判定,掌握直线与平面平行与垂直的判定定理是解决问题之关键,考查分析与运算、准确书写与完整表达的能力,属于中档题.
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AB、AP上,且AM=AE=2,AN=
13
AP,MN⊥PE

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(Ⅱ)求平面BPS与底面ABCD所成锐二面角的平面角的正切
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(Ⅲ)求多面体SPABC的体积.

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AB、AP上,且
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