Question

如图，已知放在同一平面上的两个正三棱锥P-ABD、S-BCD（底面是正三角形且顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心）的侧棱长都相等．若AB=6，二面角P-BD-S的余弦值为

1

3

．
（Ⅰ）求证：PB⊥平面PAD；
（Ⅱ）求多面体SPABC的体积..

Answer 1

分析：（I）设AC、BD的交点为O，连接OP、OS．先用等腰三角形PBD与等腰三角形SBD证明出PO、SO都与BO垂直，∠POS为二面角P-BD-S的平面角，然后在菱形ABCD中求出P、S在底面的射影的距离等于
2

3

，从而PS=2

3

，在等腰三角形PSO中利用余弦定理结合二面角P-BD-S的余弦值为

1

3

计算出PO长，再在Rt三角形POB中求出PB长，得到△PBD、△PBA都是等腰直角三角形，从而结合线面垂直的判定得到PB⊥平面PAD；
（II）根据（I）的数据不难计算出正三棱锥P-ABD的高PN=

6

，从而得到正三棱锥P-ABD的体积为9

2

，最终可得多面体SPABC的体积．

解答：解：（Ⅰ）分别作出两个正三棱锥的高PN、SM，连接AC交BD于O，连接OP、OS
∵△ADB与△BCD都是正三角形
∴四边形ABCD是菱形且∠BCD=60°，可得AC、DB互相垂直平分
∵△PBD中，PB=PD，O为BD中点
∴PO⊥BD，
同理，SO⊥BD，可得∠POS为二面角P-BD-S的平面角
∵ON=

1

3

OA，OM=

1

3

OC∴MN=

1

3

AC
∵四边形ABCD是菱形且∠BCD=60°，
∴AC=

3

AB=6

3

⇒MN=

1

3

AC=2

3

∵正三棱锥P-ABD、S-BCD是两个全等的三棱锥
∴两条高PN、SM平行且相等
可得四边形PSMN是矩形，所以PS=MN=2

3

∵两个正三棱锥的侧棱长都相等
∴等腰三角形OPS中，根据余弦定理得：cos∠POS=

OP2+OS2-PS2

2•OP•OS

=

1

3

可得OP=OS=3
∵Rt△POB中，OB=

1

2

AB=3
∴PB=

OB2+OP2

=3

2

在△PDB中，PB²+PD²=36=BD²
∴∠BPD=90°⇒BP⊥PD
同理可得：BP⊥PA，结合PA∩PD=P
∴PB⊥平面PAD
（Ⅱ）由（I）得PA=PB=3

2

，AN=

1

3

AC=2

3

，
∴Rt△PAN中，高PN=

PA 2-AN2

=

6

因此，正三棱锥P-ABD的体积V=

1

3

S △ABD•PN=

1

3

×

3

4

AB2×

6

=9

2

∴多面体SPABC的体积为V₁=2×18

3

=18

2

点评：本题是一道立体几何的综合题，着重考查了组合几何体的面积、体积问题直线与平面垂直的判定等知识点，属于中档题．