Question

已知两点F₁（-2，0），F₂（2，0），曲线C上的动点M满足|MF₁|+|MF₂|=2|F₁F₂|，直线MF₂与曲线C交于另一点P．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设N（-4，0），若=3：2，求直线MN的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为|F₁F₂|=4，|MF₁|+|MF₂|=2|F₁F₂|=8＞4，
所以曲线C是以F₁，F₂为焦点，长轴长为8的椭圆．
曲线C的方程为．（4分）
（Ⅱ）显然直线MN不垂直于x轴，也不与x轴重合或平行．（5分）
设M（x_M，y_M），P（x_P，y_P），直线MN方程为y=k（x+4），其中k≠0．
由得（3+4k²）y²-24ky=0．
解得y=0或．
依题意，．（7分）
因为，
所以，则．
于是
所以（9分）
因为点P在椭圆上，所以．
整理得48k⁴+8k²-21=0，
解得或（舍去），
从而．（（11分））
所以直线MN的方程为．（12分）
分析：（Ⅰ）由题意知|MF₁|+|MF₂|=2|F₁F₂|=8＞4，所以曲线C是以F₁，F₂为焦点，长轴长为8的椭圆．由此可知曲线C的方程；
（Ⅱ）设M（x_M，y_M），P（x_P，y_P），直线MN方程为y=k（x+4），其中k≠0．由得（3+4k²）y²-24ky=0．解得y=0或．依题意，；由此可知直线MN的方程．
点评：本题考查圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解题．