Question

已知圆O：x²+y²=1，点P在直线x=

3

上，O为坐标原点，若圆O上存在点Q，使∠OPQ=30°，则点P的纵坐标y₀的取值范围是（　　）

A．[-2，2]

B．[0，2]

C．[-1，1]

D．[0，1]

Answer 1

分析：圆O外有一点P，圆上有一动点Q，∠OPQ在PQ与圆相切时取得最大值．如果OP变长，那么∠OPQ可以获得的最大值将变小．可以得知，当∠OPQ=30°，且PQ与圆相切时，PO=2，而当PO＞2时，Q在圆上任意移动，∠OPQ＜30°恒成立．因此满足PO≤2，就能保证一定存在点Q，使得∠OPQ=30°，否则，这样的点Q是不存在的；接下来进行计算：根据两点间的距离公式表示出OP的长，再把P的坐标代入已知的直线方程中，用y₀表示出x₀，代入到表示出OP的长中，根据PO²≤4列出关于y₀的不等式，求出不等式的解集即可得到y₀的范围．

解答：解：由分析可得：PO²=x₀²+y₀²，
又因为点P在直线x=

3

上，所以x₀=

3

，
由分析可知PO≤2，所以PO²≤4，即3+y₀²≤4，变形得：y₀²≤1，解得：-1≤y₀≤1，
即y₀的取值范围是[-1，1]．
故选C．

点评：本题考查点与圆的位置关系，以及函数的定义域及其求法．解题的关键是结合图形，利用几何知识，判断出PO≤2，从而得到不等式求出参数的取值范围．