Question

已知圆o：x²+y²=b²与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)有一个公共点A（0，1），F为椭圆的左焦点，直线AF被圆所截得的弦长为1．
（1）求椭圆方程．
（2）圆o与x轴的两个交点为C、D，B（ x₀，y₀）是椭圆上异于点A的一个动点，在线段CD上是否存在点T（t，0），使|BT|=|AT|，若存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知可得b=1，设F（-c，0），则直线AF：x-cy+c=0，由直线AF被圆所截的弦长为1等于圆半径可得圆心O（0，0）到直线AF的距离d=

c

1+c2

=

3

2

，从而可求c，进而可求a，从而可求椭圆方程
（2）解法一：假设存在这样的点T（t，0），使得|AT|=|BT|，则点T必定在线段AB的中垂线上，设点B（x_B，y_B），
①直线AB斜率存在时，设直线AB：y=kx+1（k≠0），由

y=kx+1 x2 4 +y2=1

?(1+4k2)x2+8kx=0，xA+xB=

-8k

1+4k2

，yA+yB=k(xA+xB)+2=

2

1+4k2

则可得AB的中点M，然后由由MT⊥AB可得t（1+4k²）+3k=0，即t=

-3k

1+4k2

=

-3

1 k +4k

，利用基本不等式可求
②若直线AB的斜率不存在时，线段CD上任意一点都使得AT=BT对椭圆上任意的不同于A的B都成立
（2）解法二：设点B（x₀，y₀），由|AT|=|BT|知

t2+1

=

(x0-t)2+y02

，整理得y₀²+x₀²-2tx₀-1=0，结合

x02

4

+y02=1，可得

3

4

x02-2tx0=0，x₀∈[-2，0）∪（0，2]，可求t的范围，又圆O：x²+y²=1，可得-1≤x_C＜x_D≤1，从而可求

解答：解：（1）由已知可得b=1，设F（-c，0），则直线AF：x-cy+c=0
∵直线AF被圆所截的弦长为1等于圆的半径
∴圆心O（0，0）到直线AF的距离d=

c

1+c2

=

3

2

解得c=

3

，则a=2∴椭圆方程为

x2

4

+ y2=1
（2）解法一：假设存在这样的点T（t，0），使得|AT|=|BT|，则点T必定在线段AB的中垂线上…（8分）
设点B（x_B，y_B），
①直线AB斜率存在时，设直线AB：y=kx+1（k≠0）
由

y=kx+1 x2 4 +y2=1

?(1+4k2)x2+8kx=0，∴xA+xB=

-8k

1+4k2

，yA+yB=k(xA+xB)+2=

2

1+4k2

则AB的中点M(

-4k

1+4k2

，

1

1+4k2

)…（7分）
由MT⊥AB可知

1 1+4k2

-4k 1+4k2 -t

•k=-1即t（1+4k²）+3k=0
∴t=

-3k

1+4k2

=

-3

1 k +4k

|t|=|

3

1 k +4k

|≤

3

2 | 1 k |•|4k|

=

3

4

且t≠0…（9分）
∴-

3

4

≤t≤

3

4

且t≠0
②若直线AB的斜率不存在时，线段CD上任意一点都使得AT=BT对椭圆上任意的不同于A的B都成立（11分）
又圆O：x²+y²=1，-1≤x_c＜x_D≤1
综上可得线段CD上存在点T，使得AT=BT（12分）
（2）解法二：设点B（x₀，y₀），由|AT|=|BT|知

t2+1

=

(x0-t)2+y02

即t²+1=（x₀-t）²+y₀²，整理得y₀²+x₀²-2tx₀-1=0…（7分）
又∵

x02

4

+y02=1，∴

3

4

x02-2tx0=0
当x₀=0时，t∈R；
当x₀≠0时，t=

3

8

x0
又∵x₀∈[-2，0）∪（0，2]，∴t∈[-

3

4

，0)∪(0，

3

4

]…（10分）
又圆O：∴x²+y²=1，∴-1≤x_C＜x_D≤1
综上可知在线段CD上存在点T，使得|AT|=|BT|…（12分）

点评：本题主要考查了利用圆与椭圆的性质求解椭圆的方程，直线与椭圆的相交关系的应用，方程的思想的应用，要求考试具备较强的逻辑推理与运算的能力．