Question

14．已知定义在R上的函数f（x）、g（x）满足$\frac{f（x）}{g（x）}={a^x}$，且f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{10}{3}$，若c_n=$\frac{f（n）}{g（n）}$，则数列{nc_n}的前n项和S_n=$\frac{3+（2n-1）•{3}^{n+1}}{4}$．

Answer 1

分析 根据$\frac{f（x）}{g（x）}={a^x}$，结合题中等式建立关于a的方程：a+$\frac{1}{a}$=$\frac{10}{3}$，解之得a=3或$\frac{1}{3}$．再根据f′（x）g（x）＞f（x）g′（x）可证出y=a^x是R上的增函数，得a＞1，由此可得a=3，求得nc_n=n•3ⁿ，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到．

解答 解：∵$\frac{f（x）}{g（x）}={a^x}$，∴$\frac{f（1）}{g（1）}$=a，$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{1}{a}$，
因此$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{10}{3}$，即a+$\frac{1}{a}$=$\frac{10}{3}$．
解之得a=3或$\frac{1}{3}$．
设F（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$，则F'（x）=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g′（x）}{{g}^{2}（x）}$，
∵f'（x）g（x）＞f（x）g'（x），
∴F'（x）＞0在R上成立，故F（x）是R上的增函数．
即y=a^x是R上的增函数，故a＞1．则有a=3．
c_n=$\frac{f（n）}{g（n）}$=3ⁿ，nc_n=n•3ⁿ，
则前n项和S_n=1•3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，
3S_n=1•3²+2•3³+3•3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹，
两式相减可得，-2S_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n•3ⁿ⁺¹，
化简可得S_n=$\frac{3+（2n-1）•{3}^{n+1}}{4}$．
故答案为：$\frac{3+（2n-1）•{3}^{n+1}}{4}$．

点评 本题考查指数函数的单调性的运用，以及导数的运算法则的逆用，同时考查数列的求和方法：错位相减法，属于中档题．