Question

16．在递增的等差数列{a_n}中，已知a₂+a₃=10，a₁•a₄=16
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足a_n=$\frac{b_1}{3+1}+\frac{b_2}{{{3^2}+1}}+\frac{b_3}{{{3^3}+1}}+…+\frac{b_n}{{{3^n}+1}}$，求数列{b_n}的通项公式；
（3）令c_n=$\frac{{{a_n}{b_n}}}{4}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₂+a₃=10，a₁•a₄=16，联立解方程组$\left\{\begin{array}{l}{{2a}_{1}+3d=10}\\{{{a}_{1}}^{2}+3{a}_{1}d=16}\end{array}\right.$，求得d和a₁，求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由题意可知n≥2时，a_n=$\frac{b_1}{3+1}+\frac{b_2}{{{3^2}+1}}+\frac{b_3}{{{3^3}+1}}+…+\frac{b_n}{{{3^n}+1}}$，a_n-1=$\frac{{b}_{1}}{3+1}$+$\frac{{b}_{2}}{{3}^{2}+1}$+$\frac{{b}_{3}}{{3}^{3}+1}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{{3}^{n-1}+1}$，两式相减2=$\frac{{b}_{n}}{{3}^{n}+1}$，求得bn的通项公式，当n=1时，验证是否满足；
（3）由（1），（2）代入求得数列{c_n}的通项公式，利用“错位相减法”及等差数列前n项和公式即可求得数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）数列{a_n}是递增的等差数列，d＞0，
由题意可知：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d+{a}_{1}+2d=10}\\{{a}_{1}（{a}_{1}+3d）=16}\end{array}\right.$，整理得：$\left\{\begin{array}{l}{{2a}_{1}+3d=10}\\{{{a}_{1}}^{2}+3{a}_{1}d=16}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{{a}_{1}=2}\end{array}\right.$
数列{a_n}的通项公式a_n=2n；
（2）当n≥2时，a_n=$\frac{b_1}{3+1}+\frac{b_2}{{{3^2}+1}}+\frac{b_3}{{{3^3}+1}}+…+\frac{b_n}{{{3^n}+1}}$，
a_n-1=$\frac{{b}_{1}}{3+1}$+$\frac{{b}_{2}}{{3}^{2}+1}$+$\frac{{b}_{3}}{{3}^{3}+1}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{{3}^{n-1}+1}$，
两式相减得：2=$\frac{{b}_{n}}{{3}^{n}+1}$，
∴${b_n}=2（{3^n}+1）$，
当n=1时，$\frac{{b}_{1}}{3+1}$=a₁=2，b₁=8，成立，
∴数列{b_n}的通项公式数列{b_n}的通项公式${b_n}=2（{3^n}+1）$；
    （3）${c_n}=\frac{{{a_n}{b_n}}}{4}=n（{3^n}+1）=n•{3^n}+n$，
T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=（1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ）+（1+2+3+…+n），
令${H_n}=1×3+2×{3^2}+3×{3^3}+…+n•{3^n}$
则$3{H_n}=1×{3^2}+2×{3^3}+3×{3^4}+…+n•{3^{n+1}}$
两式相减得：$-2{H_n}=3+{3^2}+{3^3}+…+{3^n}-n×{3^{n+1}}=\frac{{3（{3^n}-1）}}{3-1}-n×{3^{n+1}}$，
∴${H_n}=\frac{{（2n-1）×{3^{n+1}}+3}}{4}$
∴${T_n}=\frac{{（2n-1）×{3^{n+1}}}}{4}+\frac{n（n+1）}{2}+\frac{3}{4}$．

点评 本题考查等差数列通项公式及前n项和公式，考查“错位相减法”求数列前n项和，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．