Question

6．设全集U=R，集合$A=\left\{{x\left|{{{log}_{\frac{1}{2}}}（{{x^2}-9x+19}）≤0}\right.}\right\}$，$B=\left\{{x\left|{\frac{1}{4}＜{2^x}≤32}\right.}\right\}$．
（1）求A，B，（∁_UA）∩B；
（2）已知C={x|a≤x＜a+1}，若B∪C=C，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别求解对数不等式和指数不等式化简集合A，B，然后利用补集和交集运算求得（∁_UA）∩B；
（2）由B∪C=C，得B⊆C，然后利用两集合端点值间的关系列不等式组求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）由$lo{g}_{\frac{1}{2}}（{x}^{2}-9x+19）≤0$，得x²-9x+19≥1，
即x²-9x+18≥0，解得x≤3或x≥6．
∴A={x|x≤3或x≥6}；
由$\frac{1}{4}＜{2}^{x}≤32$，解得：-2＜x≤5．
∴B={x|-2＜x≤5}；
∴∁_UA={x|3＜x＜6}，
（∁_UA）∩B={x|3＜x≤5}；
（2）C={x|a≤x＜a+1}，
若B∪C=C，则B⊆C，
得$\left\{\begin{array}{l}{a≤-2}\\{a+1＞5}\end{array}\right.$，解得a∈∅．

点评 本题考查对数不等式和指数不等式的解法，考查了交、并、补集的混合运算，考查集合间的包含关系及其应用，关键是对两集合端点值间的关系的处理，是中档题．