Question

已知函数f（x）=，其中a＞0．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

解：当a=1时，f（x）=，f（2）=3；
f′（x）=3x²﹣3x，f′（2）=6．
所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为
y﹣3=6（x﹣2），即y=6x﹣9；
（Ⅱ）解：f′（x）=3ax²﹣3x=3x（ax﹣1）．
令f′（x）=0，解得x=0或x=．
以下分两种情况讨论：
（1）若0＜a≤2，则；
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表

当时，f（x）＞0，
等价于即．
解不等式组得﹣5＜a＜5．因此0＜a≤2；
（2）若a＞2，则当x变化时，
f′（x），f（x）的变化情况如下表
当时，f（x）＞0
等价于即
解不等式组得或．
因此2＜a＜5．
综合（1）和（2），可知a的取值范围为0＜a＜5