Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n，点（a_n，S_n）在曲线（x+1）²=4y上，
（1）求{a_n}通项公式．
（2）设数列{b_n}满足b1=3，bn+1=abn，求证：{b_n-1}为等比数列，并求{b_n}的通项．
（3）在（2）条件下，cn=

bn

bn-1

+

bn+1-2

bn+1-1

，求数列{c_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由点（a_n，S_n）在曲线（x+1）²=4y上，得（a_n+1）²=S_n×4，n≥2时，（a_n-1+1）²=S_n-1，两式相减结合a_n＞0可得a_n-a_n-1=2，由此能求出通项公式．
（2）由b_n+1=abn=2bn-1可得b_n+1-1=2（b_n-1），b₁=3，由此能够证明{b_n-1}为等比数列，并能求出{b_n}的通项公式．
（3）由bn=2n+1，知cn=

bn

bn-1

+

bn+1-2

bn+1-1

=2+

1

2n+1

，由此利用分组求和法能求出数列{c_n}前n项和．

解答：（1）解：∵点（a_n，S_n）在曲线（x+1）²=4y上．
∴（a_n+1）²=S_n×4．
当n≥2时，（a_n-1+1）²=S_n-1，
两式相减可得S_n-S_n-1=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²=a_n×4，
即（a_n-1）²=（a_n-1+1）²，
∴（a_n-a_n-1-2）（a_n+a_n-1）=0．
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，∵（a₁+1）²=4S₁，∴a₁=1．
∴数列{a_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）证明：∵b_n+1=abn=2bn-1
∴b_n+1-1=2（b_n-1），即

bn+1-1

bn-1

=2，
∵b₁=3，∴b₁-1=2，
∴{b_n-1}为首项是2，公比是2的等比数列，
∴∴b_n-1=2•2^n-1=2ⁿ，
∴b_n=2ⁿ+1．
（3）解：∵bn=2n+1，
∴cn=

bn

bn-1

+

bn+1-2

bn+1-1

=

2n+1

2n

+

2n+1-1

2n+1

=2+

1

2n+1

，
∴数列{c_n}前n项和：
T_n=2n+（

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

）
=2n+

1 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

=2n+

1

2

-

1

2n+1

．

点评：本题考查由数列的和与项的递推公式求解数列的通项公式，等差数列通项公式的应用，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意迭代法、构造法、裂项法和分组求和法的合理运用．